§ 3. Тензоры в евклидовом пространстве Взаимные базисы

Рассмотрим теперь действительное евклидово пространство и выберем в нем какой-либо базис

. (8.9)

Можно показать, что в существует единственный базис

(8.10)

такой, что (кстати, вы это можете сделать в качестве упражнения).

Базис (8.10) называется взаимным или сопряженным к базису (8.9).

Выберем в еще один базис

(8.11)

и построим взаимный к нему:

. (8.12)

Каждый из векторов (8.12) можно разложить по базису (8.10). Условимся координаты векторов во взаимных базисах обозначать нижними индексами. Получаем

. (8.13)

Обозначим матрицу, составленную из координат векторов базиса (8.12) в базисе (8.10). Её естественно назвать матрицей перехода для взаимных базисов.

Замечание. Если по-прежнему считать верхний индекс номером строки, а нижний – столбца, то оказывается, что для взаимных базисов матрица перехода пишется не по столбцам, а по строкам. Так как в тензорном исчислении все преобразования проводятся в индексной форме, а не в матричной, то это не вносит никакой путаницы в рассуждения.

Отметим, кроме того, что

,

откуда вытекает, что , а значит, . Поэтому впредь значок ^ ни для матрицы перехода для взаимных базисов, ни для ее элементов мы использовать не будем.

Выберем теперь в произвольный вектор и разложим его как по базису (8.10), так и по базису (8.12):

(8.14)

и

. (8.15)

Тогда

(8.14) (8.16)

Сравнивая (8.15) и 8.1(6), на основании единственности координат вектора в данном базисе получаем . Таким образом, координаты вектора во взаимных базисах преобразуются по ковариантному закону, в отличие от координат вектора в обычных базисах, которые преобразуются по закону контравариантному. Поэтому координаты вектора в обычных базисах называются контравариантными, а во взаимных – ковариантными.

Операции поднятия и опускания индексов

Вспомним, что в действительном евклидовом пространстве скалярное произведение является симметричной положительно определенной билинейной формой. Как и всякая билинейная форма – это тензор второй валентности, который называется метрическим тензором. В базисе (8.9) он задается компонентами , а в базисе (8.10) – компонентами . Заметим, что метрический тензор является симметричным.

Сейчас мы найдем связь между базисами (8.9) и (8.10). Каждый вектор из базиса (8.9) можно разложить по базису (8.10) и наоборот:

.

Тогда

; .

Таким образом, .

Найдем теперь связь между ковариантными и контравариантными координатами произвольного вектора. Из равенства (8.14) получаем . Разлагая же по базису (8.9), имеем . Сравнивая два последних разложения, делаем вывод:

. (8.17)

Аналогично получаем равенство

. (8.18)

Равенство (8.17) задает операцию поднятия, а равенство (8.18) – операцию опускания индекса для координат вектора. В силу того, что в евклидовом пространстве вводятся операции поднятия и опускания индексов, каждый индекс может занимать то верхнее, то нижнее положение. Поэтому в евклидовом пространстве у компонент тензоров индексы один под другим не пишутся (например, у тензора первые два индекса – верхние, а последние два – нижние).

Операции поднятия и опускания индексов для тензоров произвольного типа определяются так же, как и для векторов. Например, у тензора опустим второй индекс и поднимем четвертый:

;

у тензора опустим два первых индекса, а последний поднимем:

.