Тензоры в ортонормированных базисах
Если
базис (8.9) ортонормированный то
,
значит,
,
т.
е. взаимный базис совпадает с исходным.
Поэтому взаимный базис тоже является
ортонормированным. Матрица перехода
от одного ортонормированного базиса к
другому является ортогональной, т. е.
,
или
.
(8.19)
Кроме того,
.
(8.20)
Из равенств (8.19) и (8.20) видно, что если использовать только ортонормированные базисы, то все равно, где писать индексы – снизу или сверху. Поэтому в этом случае их принято все писать снизу, а суммирование проводить по тем индексам, которые в произведении встречаются дважды. Таким образом, в евклидовом пространстве можно сформулировать следующее определение тензора.
Определение. Пусть в евклидовом пространстве заданы два ортонормированных базиса:
(8.21)
и
. (8.22)
Ортогональным
тензором
-й
валентности на евклидовом пространстве
называется объект
,
который в каждом
ортонормированном базисе пространства
задаётся совокупностью
чисел
– компонент тензора, причем при переходе
от ортонормированного базиса (8.21) к
ортонормированному базису (8.22) эти
компоненты меняются по закону:
,
где
– матрица перехода от базиса (8.21) к
(8.22).