Вопрос№4
Основное уравнение гидростатики
Определим теперь величину давления внутри покоящейся жидкости. С этой целью рассмотрим произвольную точку А, находящуюся на глубине ha. Вблизи этой точки выделим элементарную площадку dS. Если жидкость покоится, то и т. А находится в равновесии, что означает уравновешенность сил, действующих на площадку.
A – произвольная точка в жидкости, ha – глубина т. А, P0 - давление внешней среды,
r - плотность жидкости, Pa – давление в т. А, dS – элементарная площадка.
Сверху
на площадку действует внешнее давление
P0 (в случае, если свободная поверхность
граничит с атмосферой, то
) и вес столба жидкости. Снизу – давление
в т. А. Уравнение сил, действующих на
площадку, в этих условиях примет вид:
Разделив это выражение на dS и учтя, что т. А выбрана произвольно, получим выражение для P в любой точке покоящейся жидкости:
где h – глубина жидкости, на которой определяется давление P.
Полученное выражение носит название основного уравнения гидростатики.
Вопрос№5
Сначала рассмотрим простейший случай покоя. Жидкость находится под действием силы тяжести. Это означает, что проекции ускорений на оси X и Y отсутствуют. Единственным ускорением является ускорение свободного падения g, т. е.:
,
,
Тогда полный дифференциал давления после подстановки в него ускорений примет вид:
После интегрирования этого выражения получим:
Постоянную интегрирования, равную
найдём,
подставив параметры свободной поверхности
и
После подстановки этих значений в интеграл P будем иметь равенство:
Переписав это выражение в другом виде, получим
Если обозначить (Z0 - Z) через h, то приведённое равенство примет уже знакомый вид основного уравнения гидростатики
Из этого же равенства можно получить следующий вид
или
Последнее
выражение часто называют
основным законом гидростатики.
2) Физический смысл основного закона гидростатики – закон сохранения энергии для покоящейся жидкости, который говорит о том, что механическая энергия любой частицы жидкости одинакова. В этом выражении:
-
потенциальная энергия единицы веса
жидкости, определяемая положением над
нулевой линией,
-
потенциальная энергия единицы веса
жидкости, зависящая от степени её сжатия.
В геометрической интерпретации константу обозначают буквой H и называют гидростатическим напором, а саму формулу записывают в виде:
Слагаемые основного закона гидростатики в этом случае называют:
-
нивелирная высота,
- пьезометрическая высота.
Второй случай,когда поверхность равного давления может быть наклонной. Например, свободная поверхность бензина в железнодорожной цистерне, движущейся горизонтально с ускорением а (рис)
В этом случае единичная масса жидкости находится под действием силы тяжести Z= -1 *g и горизонтального ускорения силы инерции Х= -1*а (к цистерне приложена сила с ускорением а, а к жидкости—такая же по величине сила инерции с ускорением - а).
Составляющие массовых сил в уравнении получают значения:
Из вышеизложенного следует, что свободная поверхность бензина в цистерне представляет собой плоскость с углом наклона
Уравнение в этом случае примет вид
После интегрирования получим зависимость распределения давления в любой точке цистерны с бензином:
Из этого выражения следует, что наибольшее давление будет в точке z=0 и максимальным отрицательным значением х.