Отображение численности населения России после применения метода укрупнения интервалов

Эта таблица и график показывают тенденцию к снижению численности населения.

Метод аналитического выравнивания

При наличии тенденции в ряду динамики, его уровни можно рассматривать как функцию времени (t) и случайной компоненты (ε). Тогда модель уравнения динамического ряда выразим в виде:

где - средний уровень динамического ряда (является теоретическим уровнем при отсутствии тенденций);

- теоретический уровень временного ряда, связанный с действием основной тенденции развития.

В этой модели представляет собой эффект тенденции, а - случайную составляющую ε. Так как , данную модель можно представить следующим образом:

Совершенно ясно, что практическая значимость модели будет выше, чем будут остаточные колебания . Следовательно, результаты прогноза зависят от принятой математической функции выравнивания, т.е. от типа тренда.

В настоящее время компьютерные программы анализа временных рядов предлагают достаточно широкий набор математических функций для построения уравнения тренда. Наиболее часто используются полиномы К-ой степени, экспоненты, различного рода кривые с насыщением.

В общем виде полином К-ой степени представляет собой выражение:

При К = 1 получаем линейный тренд:

По содержанию линейный тренд означает, что уровни динамического ряда изменяются с одинаковой скоростью. В этом можно убедиться, если в уравнение линейного тренда подставить порядковые значения t:

t		∆
0		-
1
2
3
4
…	…	…

Параметр означает начальный уровень тренда при t = 0. Параметр характеризует средний абсолютный прирост в единицу времени t.

Для данных значений получаем результаты выравнивания методом аналитического выравнивания:

t		∆
1 (2001)	146,30	-
2 (2002)	146,30 + 1 * (-0,55) = 145,75	-0,55
3 (2003)	146,30 + 2 * (-0,55) = 145,20	-0,55
4 (2004)	146,30 + 3 * (-0,55) = 144,65	-0,55
5 (2005)	146,30 + 4 * (-0,55) = 144,10	-0,55
6 (2006)	146,30 + 5 * (-0,55) = 143,55	-0,55
7 (2007)	146,30 + 6 * (-0,55) = 143,00	-0,55
8 (2008)	146,30 + 7 * (-0,55) = 142,45	-0,55
9 (2009)	146,30 + 8 * (-0,55) =141,90	-0,55

Так по уравнению тренда для численности населения y = 146,3 + (-0,55) * t, где t=1, 2, … , 9 лет, видно, что ежегодно численность населения падает в среднем на 0,55 млн человек.

Метод скользящей средней

Аналитическое выравнивание уровней динамического ряда не дает хороших результатов при прогнозировании, если уровни ряда имеют резкие периодические колебания. В этих случаях простым путем определения тенденции развития явления представляется сглаживание динамического ряда методом скользящих средних.

Чтобы заметить фактические уровни временного ряда скользящими средними, выбирается период сглаживания (скольжения). Чаще рекомендуется нечетный период скольжения: 3, 5, 7, 9. Соответственно рассчитываются 3-, 5-, 7- и 9-членная скользящие средние.

Формулы расчета по скользящей средней выглядят, в частности, следующим образом:

для 3-членной

Y_i = (Y_i-1 + Y_i + Y_i+1) / 3

для 5-членной

Y_i = (Y_i-2 + Y_i-1 + Y_i + Y_i+1 + Y_i+2) / 5.

Получаем следующие результаты сглаживания по методу скользящей средней:

Годы	Численность населения, млн чел.	Простая
		скользящая средняя
		3-членная	5-членная
2001	146,3	-	-
2002	145,2	145,50	-
2003	145,0	144,80	144,84
2004	144,2	144,23	144,14
2005	143,5	143,50	143,54
2006	142,8	142,83	142,94
2007	142,2	142,33	142,48
2008	142,0	142,03	-
2009	141,9	-	-

Построение простых скользящих средних выявило тенденцию к снижению уровня численности населения РФ за обследуемый период.

Задача 3

За отчетный период имеются первичные данные по средним промышленным предприятиям региона (данные условные):

Номер предприятия	Число работников, чел.	Доля рабочих в общей численности работников, %	Среднее число дней, отработанных одним рабочим	Фактический выпуск товаров (работ, услуг), млн руб.	Выработано товаров (работ, услуг) одним рабочим, тыс. руб.
1	270	70	24	80,0	423,3
2	150	80	25	55,0	458,3
3	200	75	23	70,0	466,7

Определите средние значения по каждому признаку. Напишите формулы расчета, введя условные буквенные обозначения признаков.

Укажите виды использованных средних величин.

Сделайте выводы.

Решение:

Введем условные обозначения.

Условные обозначения

Номер предприятия	Число работников, чел.	Доля рабочих в общей численности работников, %	Среднее число дней, отработанных одним рабочим	Фактический выпуск товаров (работ, услуг), млн. руб.	Выработано товаров (работ, услуг) одним рабочим, тыс. руб.
n	Ч	d	t	V	в
1	270	70	24	80,0	423,3
2	150	80	25	55,0	458,3
3	200	75	23	70,0	466,7

1. Среднее число работников определяется по формуле средней арифметической взвешенной, в качестве весов используется доля рабочих в общей численности работников:

2. Средняя доля рабочих в общей численности работников определяется по формуле средней арифметической взвешенной, в качестве весов используется число работников:

3. Среднее число дней, отработанных одним рабочим определяется по формуле средней арифметической взвешенной, в качестве весов используется численность рабочих (произведение доли рабочих в общей численности работников на число работников):

4. Средний фактический выпуск товаров (работ, услуг) определяется по формуле средней арифметической простой:

5. Среднее количество выработанных товаров (работ, услуг) определяется по формуле средней арифметической взвешенной, в качестве весов используется численность рабочих (произведение доли рабочих в общей численности работников на число работников):

Вывод. В отчетном периоде деятельность промышленных предприятий характеризовалась следующими показателями: среднее число работников составило 204 человека, а доля рабочих в общей численности работников – 74% в среднем на одно предприятие. Среднее число дней, отработанных одним работником, составило 23,9 дня; фактический выпуск в среднем на одно предприятие равен 68,3 млн. руб., а производительность труда одного рабочего – 446,6 тыс. руб.