- •Глава 9. Кратные и криволинейные интегралы. §9.1. Двойной интеграл и его свойства.
- •§9.2. Двойной интеграл по элементарной области.
- •Пример 2. Вычислить , переходя к повторному по абоим направлениям, если ограничена кривыми : .
- •Пример 3. Вычислить повторный интеграл .
- •§9.3.Преобразование плоских областей.
- •§9.4. Замена переменных в двойном интеграле.
- •Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми:
- •§9.5. Приложения двойного интеграла.
- •2º. Объём цилиндроида.
- •3º. Масса плоской пластинки.
- •4º. Статические моменты.
- •5º. Координаты центра массы плоской пластинки.
- •§9.6. Тройной интеграл.
- •1º. Цилиндрические координаты.
- •2º.Сферические координаты.
- •§9.7. Несобственные кратные интегралы. Интеграл Пуассона.
- •§9.8. Криволинейный интеграл первого рода.
- •§9.9. Криволинейный интеграл второго рода.
- •§9.10. Формула Грина.
Пример 2. Вычислить , переходя к повторному по абоим направлениям, если ограничена кривыми : .
► Сначала рассмотрим область как элементарную относительно . Поскольку верхняя её граница состоит из отрезков двух разных прямых, то разобъём её на области и :
Если же рассматривать область как элементарную относительно , то сразу
◄
Пример 3. Вычислить повторный интеграл .
► Поскольку первообразная от функции не выражается элементарной функцией, то попробуем изменить порядок интегрирования, рассматривая этот интеграл как повторный для двойного интеграла , где . Поэтому
. ◄
Упражнение. Вычислите , где .
Замечание. Если область не является элементарной относительно обеих осей, то его разделяют на части, каждая из которых есть элементарная.
§9.3.Преобразование плоских областей.
Пусть – непрерывные на области вместе с их частными производными функции, которые при помощи преобразования
(1)
однозначно отображают область плоскости на область плоскости :
Если якобиан на , то существует обратное преобразование , (2)
области на область .
Поскольку каждой точке ставится в соответствие по формуле (1) единственная пара чисел , то эти числа можно рассматривать как новые координаты той же точки , а равенства (2) как формулы перехода к новым координатам и той же плоскости .
Множества точек плоскости , на которые отображаются прямые при преобразовании (1), называются координатными линиями. Это линии, вдоль которых одна из координат сохраняет постоянное значение:
и
Эти уравнения в общем случае задают параметрически некоторые кривые. По этой причине координаты называют криволинейными координатами точек области .
Одним из наиболее важных примеров криволинейных координат являются полярные координаты . Они имеют простое геометрическое толкование как радиус-вектор и полярный угол, но могут быть введены формально при помощи равенств (3)
Координатными линиями для полярных координат являются окружности
– и лучи ,
выходящие из начала координат под углом к оси . Нарушение аднозначности в начале координат объясняется тем, что якобиан преобразования (3) , если только .
Пусть есть прямоугольник в плоскости с вершинами , , , , который при отображении (2) преобразуется в криволинейный четырохугольник с вершинами
, , , .
Как и ранее, будем считать, что на прямоугольнике функции непрерывны вместе с их частными производными и якобиан . Ставим перед собой задачу: найти соотношение между площадями четырёхугольников и .
Заменим приближённо приращение функций в значениях координат четырёхугольника их дифференциалами, рассматривая и как приращения независимых переменных, и вместо криволинейного четырёхугольника рассмотрим прямолинейный четырёхугольник с вершинами
, , , .
Здесь и все их частные производные вычисляются в точке . Поскольку векторы и , то , а это значит, что четырёхугольник есть параллелограмм, построенный на векторах и .
Как известно, площадь параллелограмма, построенного на векторах равна модулю векторного произведения : , где . Учитывая, что векторы и имеют соответственно координаты и , вычислим площадь параллелограмма :
Таким образом, взяв в качестве площади криволинейного четырёхугольника значение площади параллелограмма , имеем: ,
откуда получаем , что , т.е. модуль якобиана равен отношению бесконечно малых площадей, которые соответствуют одна другой при преобразовании (2).
Обычно выражение называют элементом площади в криволинейных координатах.