§9.9. Криволинейный интеграл второго рода.

Пусть в каждой точке области задан вектор . Тогда говорят, что на области задано векторное поле. Если зафиксирована декартова прямоугольная система координат, то векторное поле можно задать при помощи трёх скалярных функций: . Если функции непрерывны или непрерывно дифференцируемы в области , то векторное поле также называется непрерывным или непрерывно дифференцируемым в области .

Если можно так выбрать систему координат, что а функции и не зависят от координаты , то векторное поле называется плоским, причём

. (1)

Далее будем рассматривать векторное поле (1), непрерывное в области . Пусть есть гладкая кривая , содержащаяся в .

def Определённый интеграл

называют криволинейным интегралом второго рода от векторного поля (КрИ-2) и обозначают , где . Таким образом,

. (2)

Поскольку , то в координатной форме равенство (2) записывается

. (3)

Если в равенствах (3) по очереди взять или , то получим соответственно

, (4)

. (5)

Определённые интегралы из правых частей равенств (4) и (5) называют КрИ-2 от функций и вдоль кривой по переменным и соответственно.

Если кривая задана как график функции , то формула (4) приобретает совсем простой вид . (6)

КрИ-2 как определённый интеграл имеет свойства линейности относительно функции интегрирования и аддитивности относительно кривой интегрирования. КрИ-2, в отличие от КрИ-1, зависит от ориентации кривой. А именно имеет место свойство:

Криволинейный интеграл второго рода при изменении ориентации кривой на противоположную меняет знак на противоположный, т.е. .

□ Пусть кривая задана векторным уравнением , а кривая соответственно уравнением . Тогда , а поэтому

Замечание 1. Можно паказать, что единичный вектор является единичным вектором касательной к кривой . Тогда

.

Таким образом, . (7)

Это значит, что КрИ-2 есть КрИ-1 специального типа.

Если единичный вектор касательной образует с осями координат углы и , то . Поскольку , то равенство (7) принимает вид .

Это равенство задаёт связь между криволинейными интегралами абоих типов.

Замечание2. Если кривую рассматривать как траекторию движения материальной точки, а вектор как силу, воздействующую на эту точку, то КрИ-2 выражает работу силы вдоль кривой .

Замечание 3. Если кривая есть отрезок

, то .

Если же , то .

Пример 1. Вычислить : 1) по отрезку прямой з концами в точках ; 2) по дуге акружности радиуса 1 с центром в точке .

► 1) Уравнение прямой есть . Зададим отрезок параметрически:

. Из формулы (3) имеем .

2) Дугу акружности зададим параметрически: . Тогда . ◄

Пример 2. Вычислить по тем же кривым, что и в примере 1.

► 1) Пользуясь формулой (3), имеем

2) Аналогично получаем

.

Оба интеграла оказались равными нулю. ◄

Таким образом, в первом примере при интегрировании по разным кривым с одинаковыми началом и концом мы получили разные результаты, а в другом – одинаковые. Выяснением причины, от которой это зависит, мы займёмся в следующем параграфе.