4º. Статические моменты.

def. Статическим моментом точки относительно прямой называется произведение массы этой точки на расстояние до прямой.

Пусть – плотность распределения массы плоской пластинки , а – некоторое её разбиение. На каждой её части выберем произвольную точку . Если – масса этой точки, то статический момент точки относительно оси равен . Будем считать пластинку однородной и её массу сосредоточенной в точке , а её статический момент . Тогда , а поэтому

.

Если , то . Аналогично .

5º. Координаты центра массы плоской пластинки.

Из механики известно, что . Поэтому

§9.6. Тройной интеграл.

Будем рассматривать замкнутую ограниченную область , на которой определена непрерывная функция . Сделаем разбиение области так, что и все не имеют общих внутренних точек. Объём области будем обозначать . Под диаметром области будем понимать наибольшее из расстояний между граничными точками области, под мелкостью разбиения будем понимать наибольший из диаметров областей .

Выберем в каждой области произвольную точку и составим интегральную сумму . Если число и этот предел не зависит ни от разбиениея , ни от выборки точек , то число называют тройным интегралом от функции по области и обозначают

, или ,

а функцию при этом называют инегрируемой на .

Для тройного интеграла имеют место такие же свойства существования, что и для двойного интеграла.

Область будем называть элементарной относительно оси , если . Вычисление тройного интеграла проводится на основании следующей теоремы.

Теорема (тройной интеграл по элементарной области). Пусть функция интегрируема на области , элементарной относительно оси . Если для каждой фиксированной точки (проекция цилиндроида на плоскость ) существует , то существует и он равен тройному интегралу .

В частности, если при этом область есть элементарная относительно оси , то
Пример 1. Свести тройной интеграл к повторному, если область ограничена поверхностями :

►

Спроектируем на плоскасць

Имеем .

Если же область рассматривать как элементарную относительно оси , то её проекция на плоскость есть Поэтому .

◄

Замена переменных (1)

в тройном интеграле осуществляется по формуле

,

где – образ области при отображении (1), а якобиан

.

Рассмотрим две наиболее встречающиеся системы криволинейных координат.

1º. Цилиндрические координаты.

(2)

Координатные поверхности: а) – полуплоскость;

б) – цилиндрическая поверхность; в) – плоскость.

Пример 2. В интеграле , где – цилиндр, ограниченный поверхностями , перейти к цилиндрическим координатам.

►

= .

◄

Пример 3. В интеграле , где область ограничена паверхностями , перйти к цилиндрическим координатам.

►

= .

◄