§9.4. Замена переменных в двойном интеграле.

Пусть функция непрерывна на ограниченной замкнутой области . Пусть область отображается взаимно однозначно на область плоскости при помощи преобразования (1)

причём обратное отображение области на область осуществляется преобразованием (2)

где и – непрерывные функции вместе с их частными производными на .

Рассмотрим задачу о преобразовании интеграла в интеграл от новых переменных в соответствии с формулами (2).

Разобъём область координатными линиями на прямоугольники с площадями . Тогда координатные линии разобъют область на криволинейные четырёхугольники с площадями . При этом точке соответствует точка . Поскольку , (3)

то при мелкости разбиения , стремящейся к нулю, мелкость разбиения области также стремится к нулю. Таким образом,

(4)

Если, в частности, обратиться к полярным координатам , то

, . (4)

Рассмотрим два частных случая области .

а) Пусть область в плоскости ограничена лучами и двумя кривыми .

Тогда область в плоскости есть элементарная относительно оси

Имеем .

б) Если же область ограничена дугами двух концентрических окружностей и кривыми , то

.

Пример 1. В двойнойм перейти к повторному в абоих напрвлениях как в декартовых, так и в полярных координатах, где :

►

◄

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми:

► Фигура , ограниченная этими кривыми, имеет вид,

а поэтому для нахождения площади её придётся разделить на 3 части и вычислять площадь как сумму площадей трёх областей. Но мы сделаем это иначе, и введём следующие криволинейные координаты: . При этом имеем

. Поскольку то фигура отображается в прямоугольник :

Вычислим якобиан и получим

◄

§9.5. Приложения двойного интеграла.

1º. Площадь плоской фигуры. .

2º. Объём цилиндроида.

Если , то .

3º. Масса плоской пластинки.

Пусть – плотность распределения массы плоской плас-тинки , а – некоторое её разбиение. На каждой её части выберем произвольную точку . Каждую часть будем считать однородной, а поэтому её масса .

Тогда . Если , то .