- •Глава 9. Кратные и криволинейные интегралы. §9.1. Двойной интеграл и его свойства.
- •§9.2. Двойной интеграл по элементарной области.
- •Пример 2. Вычислить , переходя к повторному по абоим направлениям, если ограничена кривыми : .
- •Пример 3. Вычислить повторный интеграл .
- •§9.3.Преобразование плоских областей.
- •§9.4. Замена переменных в двойном интеграле.
- •Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми:
- •§9.5. Приложения двойного интеграла.
- •2º. Объём цилиндроида.
- •3º. Масса плоской пластинки.
- •4º. Статические моменты.
- •5º. Координаты центра массы плоской пластинки.
- •§9.6. Тройной интеграл.
- •1º. Цилиндрические координаты.
- •2º.Сферические координаты.
- •§9.7. Несобственные кратные интегралы. Интеграл Пуассона.
- •§9.8. Криволинейный интеграл первого рода.
- •§9.9. Криволинейный интеграл второго рода.
- •§9.10. Формула Грина.
2º.Сферические координаты.
|
(3) здесь , . |
Замечание. Иногда рассматривают угол , который отсчитывается от плоскости , . Эти координаты можно называть географическими:
.
Пример 4. В интеграле , где область ограничена поверхностями , перейти к сферическим координатам.
►
|
. |
=
◄
Пример 5. Вычислить повторный интеграл , переходя к цилиндрическим и сферическим координатам.
► Сначала изобразим фигуру, по которой расставлены границы интегрирования в этом повторном интеграле |
|
1) (цилиндрические координаты)
2) (сферические координаты)
◄
В качестве примеров использования тройного интеграла отметим следующие.
1º. Объём фигуры вычисляется по формуле .
2º. Масса фигуры с плотностью распределения массы находится по формуле .
3º.Статические моменты фигуры , плотность распределения массы которой есть , относительно координатных плоскостей соответственно равны
, ,
.
4º.Координаты центра массы фигуры с плотностью распределения массы вычисляются по формулам
§9.7. Несобственные кратные интегралы. Интеграл Пуассона.
Кратный интеграл будем называть несобственным, если область интегрирования, или подынтэгральная функция являются неограниченными.
def. Пусть – интегрируема на каждой замкнутой ограниченной области и . Несобственным интегралом от функции по области называется и обозначается . Если этот предел конечный и не зависит от выбора последовательности , то несобственный интеграл называется сходящимся.
Пример1. Исследовать на сходимость .
► Пусть . Имеем
.
Интеграл сходится, если . ◄
Пример2. Вычислить интеграл Пуассона
► Исследуем интеграл на сходимость. Сделаем замену . Имеем , , . Поскольку – ограниченная на первообразная, и функция , то, согласно признаку Дирихле, интеграл Пуассона сходится.
Далее займёмся его вычислением. Если , то , а поэтому , или . При , где – несобственный двойной интеграл. Вычислим НИ как , где .
Переходя к полярным координатам, имеем
=
Таким образом, . ◄
§9.8. Криволинейный интеграл первого рода.
Пусть в плоскости на отрезке заданы функции , . Числа и можно рассматривать как координаты
точки , или как координаты радиус-вектора .
Если переменную рассматривать как время, то уравнения
, , (1)
определяют закон движения точки . При этом множество точек , можно рассматривать как путь точки, которая движется согласно закону (1).
Отметим, что закон движения может быть очень сложным. Например, существуют такие непрерывные на отрезке функции и , что точка пробегает каждую точку некоторого квадрата.
Мы же будем рассматривать более простой случай и будем считать, что каждым двум значениям из отрезка соответствуют разные точки и . Обозначим через множество всех точек плоскости, координаты которых соответствуют уравнениям (1).
Будем говорить, что точка предшествует точке , если . Это правило упорядочивает множество . Упорядоченное таким образом множество будем называть простой кривой и записывать уравнение этой кривой в координатной форме , (2)
или в векторной форме , (3)
где . При этом переменную в уравнениях (2) и (3) будем называть параметром кривой .
Если на кривой существуют точки , то точка
называется точкой самопересечения кривой . Простая кривая не имеет точек самопересечения.
Если равенство выполняется только при , то кривую называют замкнутой или простым контуром.
Например, кривая есть простой контур. Точка является началом и концом кривой .
Кривую с началом в точке и концом в точке будем обозначать .
Уравнение определяет кривую , ориентированную противоположно кривой , задаваемой уравнением (3). Её начало совпадает с концом кривой , а конец – с началом .
def. Кривая (2) называется гладкой, если функции непрерывно дифференцируемые на отрезке , причём . Это значит, что в каждой точке кривой существует касательная, угловой коэффициент которой есть , или .
def. Пусть на некотором множестве, содержащем кривую , задана непрерывная функция . Если гладкая кривая задана уравнением (2), то определённый интеграл называют криволинейным интегралом первого рода от функции по кривой (КрИ-1) и обозначают . Таким образом, . (5)
Если абозначить , то , и поэтому
. (6)
Рассмотрим свойства криволинейного интеграла первого рода.
1°. КрИ-1 не зависит от ориентации кривой.
□ Кривая задаётся равенствами (4). В определённом интеграле (6) сделаем замену :
▲
2°. .
3°. .
4°. Если и , то
.
5°. – длина кривой .
Нетрудно убедиться в том, что если кривая задаётся как график функции , то . (7)
Если же кривая задаётся в полярных координатах , то
. (8)
Справедливость формул (7) и (8) докажите самостоятельно.
Особенно простой вид формула (5) приобретает, если в качестве параметра взять переменную длину дуги кривой. При этом говорят, что кривая имеет натуральную параметризацию, а уравнение кривой приобретает вид , где – длина кривой . Как известно, длина дуги кривой из (3) вычисляется по формуле
.
По теореме Барроу . Если параметр , то , а поэтому равенство (5) приобретает вид . (9)
Пусть есть разбиение отрезка на частичные: . Пусть – мелкость разбиения , а . Тогда определённый интеграл из правой части равенства (9) можно записать как предел интегральной суммы
Разбиению отрезка соответствует разбиение кривой на дуги .
1) Если функция , то её можно рассматривать как линейную плотность распределения массы материальной кривой , а криволинейный интеграл можно рассматривать как массу этой кривой.
Аналогично получаем:
2) Статические моменты ;
3) Координаты центра массы .