- •Ответы к экзамену по математическому анализу
- •Основные определения и задачи теории дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения первого порядка. Теорема и задача Коши.
- •Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
- •Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Линейные дифференциальные уравнения первого порядка и уравнения Бернулли. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •5. Дифференциальные уравнения второго и высших порядков.
- •6. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.
- •7. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Однородные уравнения. Определитель Вронского. Фундаментальная система решений.
- •8. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •9. Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.
- •10.Решение линейного дифференциального уравнения 2-го порядка методом Лагранжа.
- •11. Системы дифференциальных уравнений. Решение нормальной линейной системы методом характеристического уравнения.
- •– Линейные однородные системы дифференциальных уравнений – Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений
- •Линейные однородные системы дифференциальных уравнений
- •Что значит решить систему дифференциальных уравнений?
- •Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений
- •Метод характеристического уравнения (метод Эйлера)
- •12. Числовые ряды: основные определения. Геометрическая прогрессия как пример числового ряда. Основные определения и понятия.
- •13. Гармонический ряд. Необходимый признак сходимости ряда. Признаки сравнения для определения сходимости рядов с положительными членами. Числовые ряды
- •Необходимый признак сходимости ряда.
- •Достаточные признаки сходимости ряда с положительными членами
- •1. Признак Даламбера
- •2. Интегральный признак Коши
- •3. Признак сравнения рядов
- •14. Признаки сходимости Даламбера и Коши для рядов с положительными членами. Обобщенно гармонический ряд. Признак Даламбера. Радикальный признак Коши.
- •Обобщённо гармонический ряд. Ряд Дирихле:
- •Знакопеременный ряд:
- •15. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость.
- •16. Функциональные ряды. Точки и область сходимости. Функциональные ряды
- •17. Степенные ряды и область сходимости. Степенные ряды
- •18. Разложение функций в ряды Тейлора и Маклорена.
- •19. Применения рядов Тейлора для приближенных вычислений интегралов и решений дифференциальных уравнений.
- •20. Ряд Фурье и его коэффициенты.
- •21. Разложение функции в ряд Фурье. Теорема Дирихле.
- •22. Определение и свойства двойного интеграла.
- •23. Вычисление двойных интегралов.
- •24. Замена переменных в двойном интеграле. Полярные координаты.
- •25.Приложения двойного интеграла.
- •26. Определение тройного интеграла.
- •27. Вычисление тройного интеграла.
- •28. Замена переменных в тройном интеграле. Цилиндрические координаты.
- •29. Вычисление тройного интеграла в сферических координатах.
- •Решение
Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений
Практически то же самое, только решение будет несколько длиннее.
Неоднородная система дифференциальных уравнений, которая в большинстве случаев может встретиться вам в задачах, имеет следующий вид:
По сравнению с однородной системой в каждом уравнении дополнительно добавляется некоторая функция, зависящая от «тэ». Функции могут быть константами (причем, по крайне мере одна из них не равна нулю), экспонентами, синусами, косинусами и т.д.
Пример 3
Найти частное решение системы линейных ДУ, соответствующее заданным начальным условиям
Решение: Дана линейная неоднородная система дифференциальных уравнений, в качестве «добавок» выступают константы. Используем метод исключения, при этом сам алгоритм решения полностью сохраняется. Для разнообразия я начну как раз с первого уравнения.
1) Из первого уравнения системы выражаем:
Это важная штуковина, поэтому я её снова замаркирую звёздочкой. Скобки лучше не раскрывать, зачем лишние дроби?
И еще раз заметьте, что из первого уравнения выражается именно «игрек» – через два «икса» и константу.
2) Дифференцируем по обе части:
Константа (тройка) исчезла, ввиду того, что производная константы равна нулю.
3) Подставим и во второе уравнение системы :
Сразу после подстановки целесообразно избавиться от дробей, для этого каждую часть уравнения умножаем на 5:
Теперь проводим упрощения:
В результате получено линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Вот, по сути, и всё отличие от решения однородной системы уравнений, разобранного в предыдущем параграфе.
Примечание: Тем не менее, в неоднородной системе иногда может получиться и однородное уравнение.
Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:
Составим и решим характеристическое уравнение: – получены сопряженные комплексные корни, поэтому: .
Корни характеристического уравнения опять получились «хорошими», значит, мы на верном пути.
Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде . Найдем первую и вторую производную:
Подставим в левую часть неоднородного уравнения:
Таким образом:
Следует отметить, что частное решение легко подбирается устно, и вполне допустимо вместо длинных выкладок написать: «Очевидно, что частное решение неоднородного уравнения: ».
В результате:
4) Ищем функцию . Сначала находим производную от уже найденной функции : Не особо приятно, но подобные производные в диффурах приходится находить часто.
Шторм в самом разгаре, и сейчас будет девятый вал. Привяжите себя канатом к палубе.
Подставим и в уравнение (*):
5) Общее решение системы:
6) Найдем частное решение, соответствующее начальным условиям :
Окончательно, частное решение:
Вот видите, какая история со счастливым концом, теперь можно безбоязненно плавать на шлюпках по безмятежному морю под ласковым солнцем.
Ответ: частное решение:
Кстати, если начать решать эту систему со второго уравнения, то вычисления получатся заметно проще (можете попробовать), но многие посетители сайта просили разбирать и более трудные вещи. Как тут откажешь? =) Пусть будут и более серьезные примеры.
Пример проще для самостоятельного решения:
Пример 4
Найти частное решение линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений, соответствующее заданным начальным условиям
Данная задача решена мной по образцу Примера №1, то есть, из второго уравнения выражен «икс». Решение и ответ в конце урока.
В рассмотренных примерах я не случайно использовал различные обозначения, применял разные пути решения. Так, например, производные в одном и том же задании записывались тремя способами: . В высшей математике не нужно бояться всяких закорючек, главное, понимать алгоритм решения.