- •Ответы к экзамену по математическому анализу
- •Основные определения и задачи теории дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения первого порядка. Теорема и задача Коши.
- •Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
- •Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Линейные дифференциальные уравнения первого порядка и уравнения Бернулли. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •5. Дифференциальные уравнения второго и высших порядков.
- •6. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.
- •7. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Однородные уравнения. Определитель Вронского. Фундаментальная система решений.
- •8. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •9. Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.
- •10.Решение линейного дифференциального уравнения 2-го порядка методом Лагранжа.
- •11. Системы дифференциальных уравнений. Решение нормальной линейной системы методом характеристического уравнения.
- •– Линейные однородные системы дифференциальных уравнений – Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений
- •Линейные однородные системы дифференциальных уравнений
- •Что значит решить систему дифференциальных уравнений?
- •Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений
- •Метод характеристического уравнения (метод Эйлера)
- •12. Числовые ряды: основные определения. Геометрическая прогрессия как пример числового ряда. Основные определения и понятия.
- •13. Гармонический ряд. Необходимый признак сходимости ряда. Признаки сравнения для определения сходимости рядов с положительными членами. Числовые ряды
- •Необходимый признак сходимости ряда.
- •Достаточные признаки сходимости ряда с положительными членами
- •1. Признак Даламбера
- •2. Интегральный признак Коши
- •3. Признак сравнения рядов
- •14. Признаки сходимости Даламбера и Коши для рядов с положительными членами. Обобщенно гармонический ряд. Признак Даламбера. Радикальный признак Коши.
- •Обобщённо гармонический ряд. Ряд Дирихле:
- •Знакопеременный ряд:
- •15. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость.
- •16. Функциональные ряды. Точки и область сходимости. Функциональные ряды
- •17. Степенные ряды и область сходимости. Степенные ряды
- •18. Разложение функций в ряды Тейлора и Маклорена.
- •19. Применения рядов Тейлора для приближенных вычислений интегралов и решений дифференциальных уравнений.
- •20. Ряд Фурье и его коэффициенты.
- •21. Разложение функции в ряд Фурье. Теорема Дирихле.
- •22. Определение и свойства двойного интеграла.
- •23. Вычисление двойных интегралов.
- •24. Замена переменных в двойном интеграле. Полярные координаты.
- •25.Приложения двойного интеграла.
- •26. Определение тройного интеграла.
- •27. Вычисление тройного интеграла.
- •28. Замена переменных в тройном интеграле. Цилиндрические координаты.
- •29. Вычисление тройного интеграла в сферических координатах.
- •Решение
8. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
В этой статье мы разберем принципы решения линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами , где p и q – произвольные действительные числа. Сначала остановимся на теории, далее применим полученные результаты в решении примеров и задач. Если Вам будут встречаться незнакомые термины, то обращайтесь к разделу определения и понятия теории дифференциальных уравнений. Сформулируем теорему, которая указывает, в каком виде находить общее решение ЛОДУ. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с непрерывными на интервале интегрирования X коэффициентами определяется линейной комбинацией , где - линейно независимые частные решения ЛОДУ на X, а - произвольные постоянные. Таким образом, общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид y0 = C1 ⋅ y1 + C2 ⋅ y2 , где y1 и y2 – частные линейно независимые решения, а С1 и C2 – произвольные постоянные. Осталось научиться находить частные решения y1 и y2. Эйлер предложил искать частные решения в виде . Если принять частным решением уравнения , то при подстановке этого решения в уравнение мы должны получить тождество. Так мы получили характеристическое уравнение. Решения k1 и k2 этого квадратного уравнения определяют частные решения и нашего ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. В зависимости от коэффициентов p и q корни характеристического уравнения могут быть:
действительными и различными ,
действительными и совпадающими ,
комплексно сопряженной парой .
В первом случае линейно независимыми частными решениями исходного дифференциального уравнения являются и , общее решение ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами есть . Функции и действительно линейно независимы, так как определитель Вронского отличен от нуля для любых действительных x при . Во втором случае одним частным решением является функция . В качестве второго частного решения берется . Покажем, что действительно является частным решением ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и докажем линейную независимость y1 и y2. Так как k1 = k0 и k2 = k0 совпадающие корни характеристического уравнения, то оно имеет вид . Следовательно, - исходное линейное однородное дифференциальное уравнение. Подставим в него и убедимся, что уравнение обращается в тождество: Таким образом, является частным решением исходного уравнения. Покажем линейную независимость функций и . Для этого вычислим определитель Вронского и убедимся, что он отличен от нуля. Вывод: линейно независимыми частными решениями ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами являются и , и общее решение есть при . В третьем случае имеем пару комплексных частных решений ЛОДУ и . Общее решение запишется как . Эти частные решения могут быть заменены двумя действительными функциями и , соответствующими действительной и мнимой частям. Это хорошо видно, если преобразовать общее решение , воспользовавшись формулами из теории функции комплексного переменного : где С3 и С4 – произвольные постоянные. Итак, обобщим теорию. Алгоритм нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .
Записываем характеристическое уравнение k2 + p ⋅ k + q = 0.
Находим корни характеристического уравнения k1 и k2.
В зависимости от значений корней характеристического уравнения записываем общее решение ЛОДУ с постоянными коэффициентами в виде
, если ;
, если ;
, если .
Рассмотрим примеры для каждого случая. Пример. Найдите общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами . Решение. Запишем характеристическое уравнение k2 + 4 ⋅ k + 4 = 0. Найдем его корни Получили два совпадающих корня, следовательно, общее решение имеет вид . Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения . Решение. Мы имеем ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Запишем характеристическое уравнение и найдем его корни: Корни действительные и различные, поэтому, общее решение однородного уравнения имеет вид . Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения . Решение. Характеристическое уравнение ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид k2 - k + 3 = 0. Найдем его корни: Получили пару комплексно сопряженных корней характеристического уравнения, следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид