- •Ответы к экзамену по математическому анализу
- •Основные определения и задачи теории дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения первого порядка. Теорема и задача Коши.
- •Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
- •Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Линейные дифференциальные уравнения первого порядка и уравнения Бернулли. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •5. Дифференциальные уравнения второго и высших порядков.
- •6. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.
- •7. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Однородные уравнения. Определитель Вронского. Фундаментальная система решений.
- •8. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •9. Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.
- •10.Решение линейного дифференциального уравнения 2-го порядка методом Лагранжа.
- •11. Системы дифференциальных уравнений. Решение нормальной линейной системы методом характеристического уравнения.
- •– Линейные однородные системы дифференциальных уравнений – Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений
- •Линейные однородные системы дифференциальных уравнений
- •Что значит решить систему дифференциальных уравнений?
- •Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений
- •Метод характеристического уравнения (метод Эйлера)
- •12. Числовые ряды: основные определения. Геометрическая прогрессия как пример числового ряда. Основные определения и понятия.
- •13. Гармонический ряд. Необходимый признак сходимости ряда. Признаки сравнения для определения сходимости рядов с положительными членами. Числовые ряды
- •Необходимый признак сходимости ряда.
- •Достаточные признаки сходимости ряда с положительными членами
- •1. Признак Даламбера
- •2. Интегральный признак Коши
- •3. Признак сравнения рядов
- •14. Признаки сходимости Даламбера и Коши для рядов с положительными членами. Обобщенно гармонический ряд. Признак Даламбера. Радикальный признак Коши.
- •Обобщённо гармонический ряд. Ряд Дирихле:
- •Знакопеременный ряд:
- •15. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость.
- •16. Функциональные ряды. Точки и область сходимости. Функциональные ряды
- •17. Степенные ряды и область сходимости. Степенные ряды
- •18. Разложение функций в ряды Тейлора и Маклорена.
- •19. Применения рядов Тейлора для приближенных вычислений интегралов и решений дифференциальных уравнений.
- •20. Ряд Фурье и его коэффициенты.
- •21. Разложение функции в ряд Фурье. Теорема Дирихле.
- •22. Определение и свойства двойного интеграла.
- •23. Вычисление двойных интегралов.
- •24. Замена переменных в двойном интеграле. Полярные координаты.
- •25.Приложения двойного интеграла.
- •26. Определение тройного интеграла.
- •27. Вычисление тройного интеграла.
- •28. Замена переменных в тройном интеграле. Цилиндрические координаты.
- •29. Вычисление тройного интеграла в сферических координатах.
- •Решение
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
Дифференциальное уравнение
(3.1)
называется уравнением с разделяющимися переменными.
Умножая обе части уравнения на , получаем уравнение
(3.2)
В уравнении (3.2) коэффициент при dx зависит только от x, а коэффициент при dy зависит только от y. Значит, в уравнении (3.2) переменные разделены. Интегрируя, получаем:
+
Пример.3.1 . Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным данным: при x=1, y=1.
Преобразуем уравнение ; . Умножая оби части уравнения на , получаем уравнение с разделенными переменными . Интегрируем:
+ ; + ;
; .
По начальным данным находим c (в последнее уравнение подставляем x=1, y=1):
1+1+0=c, c=2; - искомое частное решение.
Пример. 3.2
Заменяем на : , переменные
разделились. Интегрируем: = , ,
- общее решение.
Практически решение большинства типов дифференциальных уравнений сводится к решению уравнений с разделяющимися переменными, методы сведения разнообразны и зависят от типа уравнения.
Например, в уравнении
(3.5)
где a и b константы можно разделить переменные, сделав замену z=ax+by.
Так как , то , переменные разделились,
интегрируем = .
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
Дифференциальное уравнение называется однородным, если – однородная функция нулевой степени. Дифференциальное уравнение первого порядка в симметричной форме является однородным, если – однородные функции одной степени. Замена приводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными. Пример Решить уравнение . Найти решение, удовлетворяющее начальному условию . Данное уравнение однородное. Произведя замену , получим (здесь мы учли, что ). Сокращаем на . Учитывая, что , получим . Интегрируем полученное равенство: . Обозначая и учитывая , получаем ответ . Для данного начального условия : . Следовательно, искомое частное решение есть .
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка и уравнения Бернулли. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения вида называются линейными. Существуют несколько методов их решения: метод Бернулли, метод Лагранжа, метод интегрирующего множителя. Метод Бернулли Решение уравнения ищется в виде . При этой замене получаем: Функцию выбирают из условия . Полученную функцию подставляют в уравнение (учитываем ), решая которое находят функцию . Пример Решить уравнение . Полагая и учитывая , получим . Преобразуем полученное уравнение: . Функцию выберем из условия u`+ 2xu = 0. Учитывая , получаем . Интегрируем это равенство: ( см. примечание). Подставляя полученный результат в уравнение , и учитывая, что при , получим . Сократим последнее равенство на и учтем . Учитывая , ответ будет таким: . Примечание При интегрировании равенства , получается результат , откуда следует, что или . Однако в методе Бернулли нас интересует не все множество функций , а лишь одна функция из этого множества. Проще всего принять и выбрать , тогда .
Уравнением Бернулли называется уравнение первого порядка вида
Здесь a(x) и b(x) — известные, непрерывные на [a;b] функции, n > 1.
Заменой z(x) = y1-n(x) уравнение Бернулли сводится к линейному уравнению относительно функции z(x):
Получили линейное относительно z(x) уравнение:
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель
Дифференциальное уравнение вида
называется дифференциальным уравнением в полных диффернциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой гладкой функции , т.е. если , . Необходимое и достаточное условие для существования такой функции имеет вид:
Чтобы решить дифференциальное уравнение в полных дифференциалах необходимо найти функцию . Тогда общее решение дифференциального уравнения можно записать в виде для произвольной постоянной .
Интегрирующим множителем для дифференциального уравнения
называется такая функция , после умножения на которую дифференциальное уравнение превращается в уравнение в полных дифференциалах. Если функции и в уравнении имеют непрерывные частные производные и не обращаются в ноль одновременно, то интегрирующий множитель существует. Однако, общего метода для его отыскания не существует.
Пример 1 - решить дифференциальное уравнение
Решение примера.
Проверим дифференциальное уравнение на то, что оно является дифференциальным уравнением в полных дифференциалах. Для этого найдем частную производную по от функции, которая стоит перед , найдем частную производную по от функции, которая стоит перед . Получаем, что
и
следовательно, исходное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
Найдем функцию , полный дифференциал которой был бы равен левой части исходного дифференциального уравнения, т.е. такую функцию , что
Интегрируем по первое из уравнений, считая постоянным, при этом константа интегрирования должно быть функцией :
Подставляя это выражение для функции во второе из уравнений, найдем неизвестную функцию ^
получаем, что
Следовательно, в качестве функции можно взять , и общее решение исходного дифференциального уравнение будет иметь вид: