18. Разложение функций в ряды Тейлора и Маклорена.

Если функция f (x) имеет непрерывные производные вплоть до (n+1)-го порядка, то ее можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора:

где R_n − остаточный член в форме Лагранжа определяется выражением

Если приведенное разложение сходится в некотором интервале x, т.е.  , то оно называется рядом Тейлора, представляющим разложение функции f (x) в точке a.  Если a = 0, то такое разложение называется рядом Маклорена:

Разложение некоторых функций в ряд Маклорена











   Пример 1

Найти ряд Маклорена для функции  .

Решение.

Воспользуемся тригонометрическим равенством  .  Поскольку ряд Маклорена для cos x имеет вид  , то можно записать

      

Отсюда следует:

      

   Пример 2

Разложить в ряд Тейлора функцию   в точке x = 1.

Решение.

Вычислим производные:

      

Видно, что   для всех n ≥ 3. Для x = 1 получаем значения:

      

Следовательно, разложение в ряд Тейлора имеет вид

      

   Пример 3

Найти разложение в ряд Маклорена функции e ^kx, k − действительное число.

Решение.

Вычислим производные:

      

Тогда в точке x = 0 получаем

      

Следовательно, разложение данной функции в ряд Маклорена выражается формулой

      

   Пример 4

Найти разложение в ряд Тейлора кубической функции x³ в точке x = 2.

Решение.

Обозначим  . Тогда

      

и далее   для всех x ≥ 4.  В точке x = 2, соответственно, получаем

      

Таким образом, разложение в ряд Тейлора имеет вид

      

   Пример 5

Найти разложение в ряд Маклорена функции  .

Решение.

Пусть  , где μ − действительное число, и x ≠ −1. Производные будут равны

      

При x = 0, соответственно, получаем

      

Следовательно, разложение в ряд записывается в виде

      

Полученное выражение называется биномиальным рядом. 

   Пример 6

Найти разложение в ряд Маклорена функции  .

Решение.

Используя формулу биномиального ряда, найденную в предыдущем примере, и подставляя  , получаем

      

Ограничиваясь первыми 3-мя членами, разложение можно записать в виде

      

19. Применения рядов Тейлора для приближенных вычислений интегралов и решений дифференциальных уравнений.

 Некоторые приложения степенных рядов.

1. Приближенные вычисления.

Пример. Найти значение   с точностью 0.001.

{  Так как это знакочередующийся ряд, то его остаток меньше первого отброшенного члена (гл.1,§11). Следовательно,  (с точностью 0.001).}

2. Интегрирование с помощью рядов.

Пример. 

3. Решение дифференциальных уравнений.

Примеры. 1. Найти четыре первых члена разложения в ряд Тейлора решения дифференциального

уравнения: 

{ Вычислим производные в т. х₀=1:

}

2*. Решить уравнение: 

{Будем искать решение в виде степенного ряда: 

Тогда  Подставляя данные выражения в уравнение, имеем:    или  

В силу начальных условий: а₀ = 0, а₁ = 1. Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях,

получим:   Отсюда :

 и  }