10.Решение линейного дифференциального уравнения 2-го порядка методом Лагранжа.

Пусть дано неоднородное линейное уравнение второго порядка

, (2.2.1)

где коэффициенты , и правая часть есть функции от x, непрерывные в некотором интервале .

Рассмотрим наряду с уравнением (2.2.1) соответствующее ему однородное уравнение

(2.2.2)

Пусть , - фундаментальная система решений уравнения (2.2.2), так что

, (2.2.3)

и

. (2.2.4)

Тогда, как известно, общее решение уравнения (2.2.2) имеет вид

,

где и - произвольные постоянные.

Будем искать решение уравнения (2.2.1) в виде

, (2.2.5)

где и - некоторые функции от x, подлежащие определению.

Подставляя (2.2.5) в уравнение (2.2.1), получим одно условие, которому должны удовлетворять две неизвестные функции и . Это условие будет иметь вид

. (2.2.6)

Оно содержит производные второго порядка от искомых функций и , так что на первый взгляд задача усложнилась: вместо уравнения второго порядка (2.2.1) с одной неизвестной функцией y мы получили уравнение того же порядка, но уже с двумя неизвестными функциями - и . Однако мы покажем, что искомые функции можно подчинить такому дополнительному условию, что в уравнение (2.2.6) не войдут производные второго порядка от этих функций.

Дифференцируя обе части равенства (2.2.5), имеем

.

Чтобы при вычислении не появились производные второго порядка от и , положим

.

Это и есть то дополнительное условие на искомые функции и , о котором говорилось выше. При этом условии выражение для примет вид

. (2.2.7)

Вычисляя теперь , получим

. (2.2.8)

Подставим выражения для , и из формул (2.2.5), (2.2.7) и (2.2.8) в уравнение (2.2.1). Для этого умножим левые и правые части этих формул соответственно на , и 1, сложим почленно и приравняем сумму правой части уравнения (2.2.1). Получим

.

Здесь в силу (2.2.3) первые два слагаемых равны нулю, поэтому

.

Это и есть новый вид условия (2.2.6). Теперь оно уже не содержит производных второго порядка от и .

Таким образом, мы получили систему дифференциальных уравнений

Эта система в силу (2.2.4) однозначно разрешим относительно и . Решая ее, получим

, ,

где и суть вполне определенные функции от x. Их можно найти, например, по правилу Крамера. При этом, так как , , и непрерывны в интервале , то в силу (2.2.4) функции и будут непрерывны в интервале . Поэтому

, ,

где и - произвольные постоянные.

Подставляя найденные значения функций и в формулу (2.2.5), получим

. (2.2.9)

Полагая здесь , получим частное решение

так что формулу (2.2.9) можно записать в виде

,

откуда в силу теоремы о том, что решение неоднородного линейного уравнения равно сумме какого-нибудь частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения, следует, что формула (2.2.9) дает общее решение уравнения (2.2.1). Все решения, входящие в формулу (2.2.9), заведомо определены в интервале .

Пример. Рассмотрим уравнение

. (2.2.10)

Здесь первая часть непрерывна в каждом из интервалов

,

где - любое целое число. Соответствующее однородное уравнение

имеет фундаментальную систему решений

, ,

так что общим решением этого уравнения будет .

Будем искать решение уравнения (2.2.10) в виде

. (2.2.11)

Для нахождения и имеем систему

Решая ее, найдем

Подставляя найденные значения и в формулу (2.2.11), получим общее решение уравнения (2.2.10) в виде