11 Касательная плоскость.

Определение 11.1. Точка  , лежащая на поверхности второго порядка, заданной относительно аффинной системы координат уравнением   называется обыкновенной, если среди трех чисел:

есть хотя бы одно, не равное нулю. В противном случае точка называется особой.

Таким образом, точка  , лежащая на поверхности второго порядка, является особой тогда и только тогда, когда является ее центром, иначе, когда поверхность коническая, а точка   --- вершина этой поверхности.

Определение 11.2. Касательной прямой к поверхности второго порядка в данной на ней обыкновенной точке называется прямая, проходящая через эту точку, пересекающая поверхность второго порядка в двукратной точке или являющаяся прямолинейной образующей поверхности.

ТЕОРЕМА 11.1. Касательные прямые к поверхности второго порядка в данной на ней обыкновенной точке   лежат в одной плоскости, называемой касательной плоскостью к поверхности в рассматриваемой точке. Уравнение касательной плоскости имеет вид

или

Доказательство. Пусть

параметрические уравнения прямой, проходящей через обыкновенную точку   поверхности второго порядка, заданной уравнением  . Подставляя в уравнение   

вместо   и  , получим (смотри уравнение   параграфа 9)

Так как точка   лежит на поверхности, то  , и из последнего уравнения находим  . Для того чтобы точка пересечения прямой   с поверхностью   была двойной, или чтобы прямая   целиком лежала на поверхности, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

если при этом

то точка пересечения прямой   с поверхностью двойная, а если

то прямая   целиком лежит на поверхности  .

Из соотношения   и соотношений   следует, что координаты любой точки  , лежащей на любой касательной к поверхности, удовлетворяют уравнению   Обратно, если координаты какой-нибудь точки   отличной от  , удовлетворяют этому уравнению, то координаты вектора

удовлетворяют соотношению  , а значит, прямая   --- касательная к рассматриваемой поверхности.

Так как точка   --- обыкновенная точка поверхности, то среди чисел

есть по крайней мере одно, не равное нулю; значит,   --- уравнение первой степени относительно   --- это уравнение плоскости, касательной к поверхности   в данной на ней обыкновенной точке  .

12 Главные направления поверхности второго порядка.

Определение 12.1. Главным направлением поверхности второго порядка называется неасимптотическое направление этой поверхности обладающее тем свойством, что диаметральная плоскость, сопряженная этому направлению, перпендикулярна к нему.

Пусть поверхность задана общим уравнением

относительно декартовой системы координат. Пусть вектор   имеет главное направление. Тогда он будет коллинеарен вектору

нормальному к диаметральной плоскости, сопряженной направлению вектора  . Следовательно,

или

и так как вектор   ненулевой, то

или

где   --- инварианты поверхности второго порядка.

Таким образом, если вектор   имеет главное направление относительно поверхности  , то имеют место соотношения  , где   --- корень характеристического уравнения  . Но этот корень не должен равняться нулю, так как в противном случае вектор   имел бы относительно поверхности   особое, а следовательно асимптотическое направление.

Обратно, любой ненулевой вектор  , координаты которого определены из системы  , где   --- отличный от нуля корень характеристического уравнения, имеет главное направление относительно поверхности  . В самом деле, при   и   из соотношений   следует, что 

то есть вектор   не имеет асимптотического направления. Соотношения   теперь выражают, что этот вектор ортогонален диаметральной плоскости, сопряженной его направлению.