9 Пересечение поверхности второго порядка с прямой. Асимптотические направления.
Пусть
задана поверхность второго порядка
общим уравнением
и
прямая
параметрическими
уравнениями
Найдем
точки пересечения этой прямой с
поверхностью второго порядка.
Для
этого подставим значения переменных
и
из
уравнений
в
уравнение
.
Получаем уравнение с одним неизвестным
Преобразуем его к виду
Введем обозначения:
В этих обозначениях, полученное уравнение, запишется более просто, а именно
Находя
корни уравнения
,
и подставляя их в уравнения
,
мы получим координаты точек пересечения
поверхности второго порядка и прямой
.
При этом возможны следующие случаи:
1.
.
Следовательно,
---
квадратное уравнение, а поэтому оно
имеет два корня (вещественных или
комплексных),значит, прямая пересекает
ПВП в двух точках(вещественных или
комплексно-сопряженных).
2.
.
Тогда уравнение
примет
вид
.
(a) Если
,
то прямая пересекает поверхность в
единственной действительной точке.
(b) Если
,
то прямая не имеет с поверхностью ни
одной общей точки(ни действительной,
ни мнимой).
(c) Если
,
тогда любое значение
является
решением уравнения
,
а потому
является
прямолинейной образующей поверхности
второго порядка.
Определение 9.1. Множество всех прямых, из которых любые две параллельны, называется направлением.
Отметим,
что направление можно определить любым
направляющим вектором каждой из этих
прямых. Заметим, что коэффициент
в
уравнении
зависит
только от направления прямой
и
не зависит
от координат точки
,
лежащей на прямой.
Определение
9.2. Направление,
определяемое ненулевым вектором
,
называется асимптотическим направлением
относительно поверхности второго
порядка, если любая прямая, параллельная
вектору
,
либо имеет с поверхностью не более одной
общей точки, либо является прямолинейной
образующей поверхности.
Из предыдущего следует: направление, определяемое ненулевым вектором , является асимптотическим направлением относительно поверхности второго порядка , тогда и только тогда, когда
Конусы асимптотических направлений.
Пусть
поверхность второго порядка задана
общим уравнением
.
Отложим из начала координат все
векторы
асимптотического
направления относительно данной
поверхности. Тогда координаты концов
,
отложенных векторов будут удовлетворять
следующему уравнению
Уравнение
как
однородное уравнение относительно
определяет
коническую поверхность (действительную
или мнимую), образованную прямыми,
проходящими через начало координат.
Таким образом, образующие конуса
---
прямые, имеющие асимптотические
направления поверхности и обратно:
любое асимптотическое направление
является образующей конуса
.
Определение 9.3. Конус, определяемый уравнением , а также любой конус, полученный переносом этого конуса, называется конусом асимптотических направлений поверхности (вершина конуса, заданного уравнением , находится в начале координат).
Определение 9.4. Асимптотическим конусом поверхностей второго порядка, имеющих центр, называется конус асимптотических направлений, вершина которого лежит в центре поверхности.
Пусть поверхность, заданная общим уравнением имеет единственный центр. Замечая, что и --- инварианты переноса, заключаем, что уравнение данной поверхности после параллельного переноса в центр поверхности, примет вид
Значит
уравнение
является
уравнением асимптотического конуса
центральной поверхности, относительно
исходной системы координат.