5 Определение канонического уравнения поверхности второго порядка при помощи инвариантов.

ТЕОРЕМА 5.1. В таблице указаны необходимые и достаточные признаки того, что поверхность второго порядка является поверхностью   или   групп:

Номер группы	Признак

Доказательство. Необходимость.

1. Пусть поверхность второго порядка является поверхностью первой группы. Тогда ее уравнение в некоторой прямоугольной системе координат имеет вид

В таком случае,

2. Пусть поверхность второго порядка является поверхностью второй группы. Тогда ее уравнение в некоторой прямоугольной системе координат имеет вид

Находим

3. Пусть поверхность второго порядка является поверхностью третьей группы. Тогда ее уравнение в некоторой прямоугольной системе координат имеет вид

Отсюда находим

4. Пусть поверхность второго порядка является поверхностью четвертой группы. Тогда ее уравнение в некоторой прямоугольной системе координат имеет вид

Получаем,

5. Пусть, наконец, поверхность второго порядка является поверхностью пятой группы. Тогда ее уравнение в некоторой прямоугольной системе координат имеет вид

Вычисляя последовательно, будем иметь

Необходимость признаков доказана.

Так как эти признаки попарно несовместимы, то они и достаточны.

ТЕОРЕМА 5.2.

1. Если поверхность второго порядка, заданная общим уравнением относительно прямоугольной системы координат, является поверхностью первой группы, то ее простейшее уравнение имеет вид

2. Если поверхность второго порядка, заданная общим уравнением относительно прямоугольной системы координат, является поверхностью второй группы, то ее простейшее уравнение имеет вид

3. Если поверхность второго порядка, заданная общим уравнением относительно прямоугольной системы координат, является поверхностью третьей группы, то ее простейшее уравнение имеет вид

4. Если поверхность второго порядка, заданная общим уравнением относительно прямоугольной системы координат, является поверхностью четвертой группы, то ее простейшее уравнение имеет вид

5. Если поверхность второго порядка, заданная общим уравнением относительно прямоугольной системы координат, является поверхностью пятой группы, то ее простейшее уравнение имеет вид

Доказательство.} Если поверхность второго порядка является поверхностью первой группы, то ее простейшее уравнение имеет вид 

Находим

Аналогично доказываются остальные утверждения теоремы (доказать самостоятельно).

ТЕОРЕМА 5.3. В таблице указаны необходимые и достаточные признаки каждого из семнадцати классов поверхностей второго порядка

Номер	Группа	Название поверхности	Признак
1		Эллипсоид
2		Мнимый эллипсоид
3		Мнимый конус
4		Однополостный гиперболоид	и (или   или )
5		Двуполостный гиперболоид	и (или   или )
6		Конус	и (или   или )
7		Эллиптический параболоид
8		Гиперболический параболоид
9		Эллиптический цилиндр
10		Мнимый эллиптический цилиндр
11		Две мнимые пересекающиеся плоскости
12		Гиперболический цилиндр
13		Две пересекающиеся плоскости
14		Параболический цилиндр
15		Пара параллельных плоскостей
16		Пара мнимых параллельных плоскостей
17		Пара совпавших плоскостей

Доказательство необходимости. Из двух предыдущих теорем следует, что если относительно декартовой системы координат   поверхность второго порядка задана общим уравнением  , то преобразованием данной системы координат  в декартову прямоугольную   данное уравнение можно привести к одному их следующих простейших уравнений:

если  ;

если  ;

если  ;

если  ;

если  .

Во всех этих уравнениях   --- отличные от нуля корни характеристического уравнения.

1. Если уравнение   является уравнением эллипсоида, то корни характеристического многочлена числа одного знака, а число   имеет знак им противоположный. Но так как  , и далее,  .

2. Если уравнение   является уравнением мнимого эллипсоида, то все числа   одного знака, следовательно,  . Соотношения   и   доказываются аналогично.

3. Если уравнение   является уравнением мнимого конуса, то числа   одного знака, а  , следовательно,  . Неравенства   и   получаются аналогично пункту 1.

4. Если уравнение   является уравнением однополостного гиперболоида, то из чисел   два положительны, а два отрицательны; пусть, например,  . Тогда  . Если  , то все доказано. Пусть  . Докажем, что  . Действительно, если бы мы имели 

 

Тот же результат получим предположив, что  . Выкладки провести самостоятельно.

Аналогично рассматриваются случаи 5-17.