Вопрос12. Уравнение динамики вращательного движения.

Основное уравнение динамики вращательного движения материальной точки - угловое ускорение точки при ее вращении вокруг неподвижной оси пропорционально вращающему моменту и обратно пропорционально моменту инерции.

 М = E*J или E = M/J

 Сравнивая полученное выражение со вторым законом Ньютона с поступательным законом, видим, что момент инерции J является мерой инертности тела во вращательном движении. Как и масса величина аддитивная.

Момент инерции тонкого кольца:

Вопрос13. Теорема Штейнера.

Теоре́ма Гю́йгенса — Ште́йнера, или просто теорема Штейнера (названа по имени швейцарского математика Якоба Штейнера и голландского математика, физика и астронома Христиана Гюйгенса): момент инерции тела   относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела   относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела   на квадрат расстояния   между осями:

где

 — известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела,

 — искомый момент инерции относительно параллельной оси,

 — масса тела,

 — расстояние между указанными осями.

Момент инерции, по определению:

Радиус-вектор   можно расписать как разность двух векторов:

,

где   — радиус-вектор расстояния между старой и новой осью вращения. Тогда выражение для момента инерции примет вид:

Вынося за сумму  , получим:

Поскольку старая ось проходит через центр масс, то суммарный импульс тела будет равен нулю:

Тогда:

Откуда и следует искомая формула:

,

где   — известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела.

Вопрос14. Работа при вращательном движении.

Часто встречаются детали машин, вращающиеся вокруг неподвижных осей. Причиной вращательного движения является приложенный к телу вращающий момент относительно оси, который создается парой сил или силой F

и определяется по формуле

При повороте тела на малый угол dφ работа совершается силой F, точка приложения которой перемещается из положения С1 в положение С2. Полное перемещение точки приложения силы равно длине дуги радиусом R:

Так как сила F все время направлена по касательной к перемещению s, то совершаемая ею работа определится как произведение силы на перемещение:

Произведение силы на радиус определяет вращающий момент, т. е.  . Учитывая это, окончательно находим dW = М dφ. Интегрируя, получим:

Работа вращающего момента равна произведению момента на угол поворота.

Определим мощность при вращательном движении

Вопрос15. Кинетическая энергия вращающегося тела.

Кинетическая энергия – величина аддитивная. Поэтому кинетическая энергия тела, движущегося произвольным образом, равна сумме кинетических энергий всех nматериальных точек, на которые это тело можно мысленно разбить:

,

       Если тело вращается вокруг неподвижной оси z с угловой скоростью  , то линейная скорость i-й точки  , R_i – расстояние до оси вращения. Следовательно,

,

       Сопоставив обе формулы, можно увидеть, что момент инерции тела l является мерой инертности при вращательном движении, так же как масса m – мера инерции при поступательном движении.         В общем случае движение твердого тела можно представить в виде суммы двух движений – поступательного со скоростью  v_c  и вращательного с угловой скоростью ω вокруг мгновенной оси, проходящей через центр инерции. Тогда полная кинетическая энергия этого тела

,

       Здесь I_c – момент инерции относительно мгновенной оси вращения, проходящей через центр инерции.