5Внутренние силы метод сечения

Обозначая через Pлев и Рправ суммы внешних сил, приложенных соответственно, к левой и правой частям бруса (относительно сечения А), и учитывая, что

Pлев + Рправ = 0

для отсеченных частей бруса получим соотношения:

Рлев + PA = 0;Рправ - PA = 0.

R*, M* - результирующая сила и момент, действующие на отсеченной части тела. Если тело при действии полной системы внешних сил находится в равновесном состоянии, то условия равновесия отсеченной части тела имеет вид: в проекциях на декартовых осях координат

8.Центральное растяжение и сжатие прямого стержня.

Центральное растяжение (сжатием) - вид деформации, при котором в поперечных сечениях стержня возникает только продольная сила N, а прочие силовые факторы равны нулю.

Правило знаков: Если Nz направлена от сечения (растяжение), она считается положительной. В обратном случае - отрицательной.

Нормальная сила Nz приложена в центре тяжести сечения и является равнодействующей внутренних сил в сечении :

P  + Nz = 0, Nz = P

Поперечные сечения в центрально растянутом стержне смещаются параллельно начальным положениям - гипотеза плоских сечений (Д. Бернулли): плоские сечения до деформации остаются плоскими и после деформации. Значит, все продольные волокна стержня находятся в одинаковых условиях и нормальные напряжения во всех точках поперечного сечения должны быть также одинаковы и равны .

11П.Закон Гука при растяжении и сжатии. Модуль упругости (Юнга) и коэф-ент Пуассона.

Длина стержня до нагружения - l; после нагружения - l + Dl (Dl - абсолютное удлинение стержня)

Относительная деформация или .

В пределах малых деформаций при простом растяжении (сжатии) закон Гука: s = E e 

Е -коэффициент пропорциональности, называемый модулем упругости материала первого рода

с учетом того, что и

Если стержень из однородного изотропного материала (Е = const), имеет постоянное поперечное сечение (F = const) и нагружен по концам силой Р:

12.Удлинение прямого бруса. Перемещения поперечных сеч бруса.

Рассмотрим однородный стержень с одним концом, жестко за­деланным, и другим  свободным, к которому приложена централь­ная продольная сила Р (рис. 2.2). До нагружения стержня его длина равнялась l после нагружения она стала равной l + l (рис. 2.2). Величину l называют абсолютным удлинением стержня.

Рис. 2.2

Если в нагруженном стержне напряженное состояние является однородным, т.е. все участки стержня находятся в одинаковых ус­ловиях, деформация  остается одной и той же по длине стержня и равной . (2.1)

Если же по длине стержня возникает неоднородное напряжен­ное состояние, то для определения его абсолютного удлинения небходимо рассмотреть бесконечно малый элемент длиной dz (рис. 2.2). При растяжении он увеличит свою длину на величину  dz и его деформация составит: . (2.2)

В пределах малых деформаций при простом растяжении или сжатии закон Гука записывается в следующем виде: = E  . (2.3)

Величина Е представляет собой коэффициент пропорциональ­ности, называемый модулем упругости материала первого рода. Из совместного рассмотрения уравнений (2.2) и (2.3) получим:

,

откуда с учетом того, что и ,

окончательно получим: . (2.4)

Если стержень изготовлен из однородного изотропного мате­риала с Е = const, имеет постоянное поперечное сечение F = const и нагружен по концам силой Р, то из (2.4) получим .(2.5)

При решении многих практических задач возникает необходи­мость, наряду с удлинениями, обусловленными действием механи­ческих нагрузок, учитывать также удлинения, вызванные темпера­турным воздействием. В этом случае пользуются принципом неза­висимости действия сил, и полные деформации рассматривают как сумму силовой и температурной деформаций: , (2.6)

где   коэффициент температурного расширения материала; t пе­репад температуры тела. Для однородного стержня, нагруженного по концам продольными силами Р и равномерно нагретого по

д лине, получим: . (2.7)

Рассмотрим теперь шарнирно-стержневую сис­тему, состоящую из двух стержней, шарнирно за­крепленных в верхних концах А и В и соеди­ненных общим шарниром в точке С (рис. 2.16)

Шарниры А, В и С предполагаются идеальными, т. е. такими, трение в которых отсутствует. Поэтому от шарниров стержня и от стержней шарнирам могут

передаваться только силы и не могут передаваться моменты.

Таким образом, каж­дый из стержней находит­ся в равновесии под дейст­вием двух сил, приложен­ных к нему по концам (в шарнирах). Следователь­но, эти силы направлены вдоль оси стержня, т. е. в поперечных сечениях стер­жней возникает только один внутренний силовой фактор — продольная си­ла.

Вырезав узел С (рис. 2.16,6), составим два уравнения равновесия при­ложенных к нему сил (Р_Х, Р₂, N_A и ЛГ_В):

В результате решения этих уравнений определя­ются значения N_A и N_B. Заметим, что вследствие малости деформаций при равновесия не учитывается изменение углов между стержнями, вызванное дефор­мацией системы.

По найденным значениям продольных сил и заданным размерам поперечных сечений стержней легко определить продоль­ные деформации А1_АС и А1_ВС стержней АС и ВС. Покажем, как по этим деформациям можно опреде­лить вызванное силами Р_Х и Р₂ перемещение СС шарнира С. Для этого разложим перемещение СС на два составляющих его перемещения и и v, параллель­ных осям х и у соответственно (рис. 2.16, в). Очевид­но, что удлинение (или укорочение) стержня АС (или ВС) можно найти по перемещению его конца С. Для этого надо спроецировать это перемещение (или составляющие, на которые оно разложено) на ось стержня.

13п.Потенциальная энергия деформации

Внешние силы, приложенные к упругому телу вызывают изменение его геометрии и совершают работу А на соответствующих перемещениях. При этом накапливается потенциальная энергия деформирования U. При действии динамических внешних нагрузок часть работы внешних сил превращается в кинетическую энергию движения частиц тела К. Приняв энергетическое состояние системы до момента действия данных сил равным нулю в условиях отсутствия рассеивания энергии, уравнение баланса энергии: А = U + K

При статических нагрузках К = 0, А = U - работа внешних сил равна потенциальной энергии деформации

П риращению силы DР - соответствует приращение удлинения d (Dl ). Элементарная работа на этом приращении: A = (P + d P)×d (D l ) =

= P×d (D l ) + d P × d (D l )

пренебрегая вторым слагаемым в силу его малости, получим dA = P×d (D l )

Полная работа равна сумме элементарных работ, при линейной зависимости “нагрузка-перемещение” работа внешней силы Р на перемещении Dl равна площади треугольника ОСВ – А = 0,5 Р×Dl 

Если напряжения s и деформации e распределены по объему тела V равномерно, потенциальная энергия деформирования стержня:

Т.к. V = F l, P = s F и s = Е e, то

Для однородного стержня с постоянным поперечным сечением при Р = const: