42П.Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.
Прочность балок проверяется для наиболее нагруженного (опасного) сечения, устанавливаемого при помощи эпюр (графиков закона изменения Q и M по всей длине балки). Порядок построения эпюр:
1
.
определить опорные реакции;
2. найти аналитические выражения Q и M на каждом участке балки и определить их величины в наиболее характерных точках (начало и конец участка, экстремальные точки);
3. параллельно оси балки провести оси отсчетов и в соответствующих местах восстановить к ним перпендикуляры, численно равные найденным значениям Q и M. Построить эпюры Q и M, соединяя концы этих перпендикуляров в соответствии с законом изменения Q и M на данном участке.
43.Нормальные напряжения при чистом прямом изгибе
Нормальные напряжения зависят только от изгибающих моментов, поэтому для σ можно применительно формулы к чистому изгибу, приняв Q=0 и Mz=const.
1) На выпуклой стороне волокна растягиваются, а на вогнутой – сжимаются
(на выпуклой стороне надрезы разойдутся, на вогнутой – сойдутся).
2) Если на боковой стороне балки нанести прямоугольную сетку, то будет
видно, что переход от сжатых волокон к растянутым и наоборот происходит
непрерывно, а между ними есть нейтральный слой (волокна, длина которых
при изгибе не изменяется). Нейтральный слой образует цилиндрическую
поверхность, образующие которой называются нейтральными линиями и
служат границами между растягивающими и сжимающими напряжениями.
На нейтральной линии напряжений нет.
Проекция нейтрального слоя на плоскость изгиба (плоскость симметрии), в случае упругих деформаций, называется упругой линией балки (постоянной длины).
3) В силу эффекта Пуассона в растянутой зоне поперечные сечения сужаются, а в сжатой – расширяются.
4) Плоские поперечные сечения, нормальные к упругой линии балки до изгиба, остаются плоскими и нормальными к ней после изгиба (гипотеза плоских сечений Я. Бернулли – 1705 г.).
5) Продольные волокна не оказывают давления друг на друга, а испытывают только осевое растяжение или сжатие (σy=0).
6) Картина деформаций по ширине сечения не изменяется - нормальные напряжения распределены по ширине сечения равномерно.
Для балки длиной l относительное удлинение волокна AB (на расстоянии y от нейтрального слоя)
47Расчет на жесткость при изгибе
В
расчетах, когда перемещения балки
превышают установленные нормы, балки
должны проверяться на жесткость.
Обозначив допускаемый прогиб [f],
получим условие жесткости балки:
.
Допускаемые значения прогиба зависят
от назначения конструкции: в строительных
конструкциях допускаемые значения
относительных прогибов [f/l]
колеблются от 1/150 до 1/400. При расчете
валов допускаемый относительный прогиб
обычно ограничивается 1/1000.
Расчеты на прочность при поперечном изгибе
При
поперечном изгибе наибольшие нормальные
напряжения возникают в наиболее удаленных
от нейтральной оси точках сечения, на
оси нормальные напряжения равны нулю,
а зона действия наибольших касательных
напряжений расположена вблизи нейтральной
оси. Если длина балки существенно больше
высоты сечения τmax<<σmax.
В таком случае проводят расчет на
прочность только по нормальным напряжениям
(для тонкостенных балок это не всегда
справедливо):
Если материал одинаково работает на растяжение и сжатие, то опасной будет точка сечения, где действует наибольшее по абсолютной величине напряжение независимо от знака. Для хрупких материалов, имеющих различные пределы прочности при растяжении σвр и сжатии σвсж, требуется проверка прочности по наибольшим растягивающим и сжимающим напряжениям:
Для материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие, целесообразны сечения, симметричные относительно их нейтральных осей (одинаковый запас прочности по растянутым и сжатым волокнам).
Кроме условия прочности, из учета требования минимальной массы балки, наиболее рациональным будет сечение, которое при заданном моменте сопротивления Wz имеет наименьшую площадь сечения F, а при заданной площади – наибольший момент сопротивления.