2) «76» Понятие первообразной и неопределенного интегралa

Пусть функция f(x), заданная в некотором промежутке* [a, b], во всех его точках является производной функции F(x) , также заданной в [a, b]. Тогда эта последняя функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x) (в промежутке [a, b]).

Совокупность всех первообразных для функции f(x) на промежутке Х называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается где ʃ - знак интеграла, f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx – подынтегральное выражение. Таким образом, где F(x) – некоторая первообразная для f(x), С – произвольная постоянная.

(Таким образом, неопределенный интеграл какой-нибудь функции представляет собой общий вид первообразных функций для этой функции. Величина C, входящая в определение неопределенного интеграла, называется "произвольной постоянной"). Придавая ей то или иное закрепленное значение, можем получить из неопределенного интеграла любую первообразную.

Операция нахождения неопределенного интеграла от некоторой функции называется интегрированием этой функции.

3) «117» Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения высшего порядка

Теорема. Пусть решения y₁(x), y₂(x) уравнения y'' + p y' + q y = 0 линейно независимы на интервале (a,b). Тогда функция y(x)=C₁ y₁(x) + C₂ y₂(x), где C₁ C₂ – произвольные постоянные, является общим решением исходного однородного уравнения.

Билет №14

1. «56» Неопределенные выражения. Первый и второй замечательные пределы

2. «98» Необходимые и достаточные условия экстремумов функции нескольких переменных

3. «105» Интегральный признак сходимости

1)Неопределённые выражения в математике, выражения, предел которых не может быть найден путём непосредственного применения теорем о пределах.

Н еопределённые выражения

Первый замечательный предел

Второй замечательный предел

2) «98» Необходимые и достаточные условия экстремумов функции нескольких переменных

Определение. Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М0(х0, у0) верно неравенство f(x₀,y₀)>f(x,y) то точка М0 называется точкой максимума.

Определение. Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М0(х0, у0) верно неравенство f(x₀,y₀)<f(x,y) то точка М0 называется точкой минимума.

Теорема. (Необходимые условия экстремума). Если функция f(x,y) в точке (х0, у0) имеет экстремум, то в этой точке либо обе ее частные производные первого порядка равны нулю , либо хотя бы одна из них не существует .Эту точку (х0, у0) будем называть критической точкой.

Теорема. (Достаточные условия экстремума). Пусть в окрестности критической точки (х0, у0) функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Рассмотрим выражение:

1) Если D(x0, y0) > 0, то в точке (х0, у0) функция f(x, y) имеет экстремум, если - максимум, если - минимум.

2) Если D(x0, y0) < 0, то в точке (х0, у0) функция f(x, y) не имеет экстремума. В случае, если D = 0, вывод о наличии экстремума сделать нельзя.