- •1) Перестановки, размещения, сочетания
- •2) «37»Векторное произведение
- •1)«31» Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми
- •2) «101» Числовой ряд.
- •3) «59» Производная сложной функции. Производная обратной функции
- •1)«27» Прямая, как линия первого порядка. Общее уравнение прямой.
- •2) «66» Основные теоремы о дифференцируемых функциях: Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши
- •3) «102» Сумма ряда, необходимый признак сходимости
- •1) «10» Миноры. Теорема о разложении. Алгебраические дополнения
- •2) «68» Формула Тейлора. Разложение элементарных функций. Формула Маклорена
- •3) «85» Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона — Лейбница
- •1) «30» Точка пересечения двух прямых
- •2) «63» Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала
- •1)21. Линейная независимость системы векторов.
- •2) «71»Достаточное условие экстремума функции в точке.
- •3) «90» Предел функции нескольких переменных, частное и полное приращение функции, непрерывность функции
- •2)«72» Выпуклость графика функции. Достаточное условие выпуклости графика функции.
- •2) «53» Классификация точек разрыва
- •1. Устранимый разрыв.
- •3) «107» Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость
- •2) «69» Монотонность функции. Признак монотонности
- •3) 99» Понятие двойного интеграла. Двойной интеграл в прямоугольных декартовых координатах
- •2) «76» Понятие первообразной и неопределенного интегралa
- •3) «117» Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения высшего порядка
- •Второй замечательный предел
- •2) «98» Необходимые и достаточные условия экстремумов функции нескольких переменных
- •3) «105» Интегральный признак сходимости
- •1) Уравнения прямой в пространстве.
- •1) «51» Бесконечно малые функции. Свойства бесконечно малых функций
- •3) Частные производные 1-го порядка, их геометрический смысл.
- •1) Основные свойства предела функции
- •2) Приложения определенного интеграла (нахождение объема тела вращения, длины дуги, площади поверхности тела вращения в декартовой и полярной системах координат) Вычисление объема тела вращения
- •3)Степенные ряды
- •1) Исследование функций с помощью первой и второй производных. Построение графиков функций по характерным точкам.
- •3) «118» Общее решение линейного неоднородного уравнения высшего порядка
- •Второй замечательный предел
- •2)«74» Асимптоты графика функции (вертикальная, горизонтальная, наклонная
- •3. 113» Линейные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли «114» Уравнения в полных дифференциалах. Теорема Коши
- •1.Полный дифференциал функции нескольких переменных. Производная сложной функции.
- •2.Математическим ожиданием дискретной случайной величины.
- •3. Диаграммы Эйлера-Венна
- •1. Основные свойства матриц. Транспонированная матрица.
3) «118» Общее решение линейного неоднородного уравнения высшего порядка
Теорема. Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения высшего порядка состоит из суммы его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения.
Билет №19
«56» Неопределенные выражения. Первый и второй замечательные пределы
«74» Асимптоты графика функции (вертикальная, горизонтальная, наклонная)
«113» Линейные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли
«114» Уравнения в полных дифференциалах. Теорема Коши
Теория вероятности
«56» Неопределенные выражения. Первый и второй замечательные пределы
Неопределённые выражения в математике, выражения, предел которых не может быть найден путём непосредственного применения теорем о пределах.
Неопределённые выражения:
Первый замечательный предел
Второй замечательный предел
2)«74» Асимптоты графика функции (вертикальная, горизонтальная, наклонная
Определение.Асимптотой графика функцииy=f{x) называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки (х, flx))до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат:
На рис. 8.20а изображена вертикальная асимптота, на рис. 8.206 — горизонтальная асимптота, а на рис. 8.20в — наклонная.
Теорема 1. Пусть функция у =f(x)определена в некоторой окрестности точки Xо(исключая, возможно, саму эту точку) и хотя бы один из пределов функции при х→x0 - 0 (слева) или при х→х0 +0 (справа) равен бесконечности, т.е. Iimf(x)= ∞ илиIimf(x)= ∞.
х→x0 – 0 х→х0 +0
Тогда прямая х =x0является вертикальной асимптотой графика функции у=f(х).Вертикальную асимптоту следует искать в точках разрыва функции или на концах её области определения (а,b), если а, b – конечные числа.
Теорема 2. Пусть функция у =f(х) определена при достаточно больших х и существует конечный предел функцииlimf(x)=b; х→∞
Тогда прямая у =b есть горизонтальная асимптота графика функцииy=f(x)
Замечание. Если конечен только один из пределов limf(x)= bnили limf(x)=bп, то функция имеет лишь х→-∞ х→+∞
левостороннююу = bя илиправостороннюю у=bп-горизонтальную асимптоту.
В том случае, если limf(x)=cо, функция может иметь наклонную асимптоту х→∞
Теорема 3.Пусть функция у=f(х) определена при достаточно больших х и существуют конечные пределыlim=f(x) и lim[f(x)- х→∞x
кх] =b.Тогда прямая у=кх±b является наклонной асимптотой графика функции y=fix).Наклонная асимптота, так же,как и горизонтальная , может быть правосторонней или левосторонней
3. 113» Линейные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли «114» Уравнения в полных дифференциалах. Теорема Коши
Уравнение вида a(x)y' + b(x)y + c(x) = 0 или y' + p(x)y + q(x) = 0, где a(x), b(x), c(x), p(x), q(x) – непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Метод решения уравнения Бернуллиy' + p(x) y = q(x) yn: где p(x), q(x) – непрерывные функции. Вводим новую функцию z(x)=y1-n, тогда z'=(1-n)*y-n*y'. Разделим обе части исходного уравнения на yn: y-ny' + p(x) y1-n= а(x). Теперь переходим к новой функции (умнож. на (1-n)): z' + (1-n)*p(x)*z = (1-n)*q(x). Получили линейное уравнение отн. функции z(x), его метод решения неизв
Коши: Уравнение M(x,y)*dx + N(x,y)*dy = 0 называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции F(x,y). Это имеет место, если ∂M/∂y≡∂N/∂x.Метод решения: чтобы решить уравнение в полных дифференциалах, надо найти функцию F(x,y), для которой полный дифференциал равен левой части уравнения: dF(x,y) = M(x,y)*dx + N(x,y)*dy. Тогда общее решение исходного уравнения можно записать в виде F(x,y) = C, где С – произвольная постоянная. Для этого равенство d/dxF(x,y) = M(x,y). Интегрируем по переменной x, полагая при этом y постоянным, получаем F(x,y) = ∫M(x,y)dx + φ(y). Дифференцируя по y и приравнивая к N(x,y) получаем: d/dyF(x,y) = d/dy(∫M(x,y)dx) + N(x,y) φ(y) = -∫(d/dy∫M(x,y)dx)dy + ∫N(x,y)dy. F(x,y) = ∫M(x,y)dx - ∫(d/dy∫M(x,y)dy + ∫N(x,y)dy.Теорема Коши: пусть функция f(x,y,y') и её частные производные f'y и f'x непрерывны в некоторой области G пространства переменных (x,y,y'). Тогда для любой внутренней точки M0(x0,y0,y'0) этой области существует единственное решение уравнения вида y''=f(x,y,y'), удовлетворяет начальным условиям: x≠0; y=x0; y'=y'0
Билет №20
«93» Полный дифференциал функции нескольких переменных. Производная сложной функции
«133» Математическое ожидание, основные свойства
«1» Множества. Операции над множествами. Круги Эйлера
Исследовать сходимость ряда