1. Основные свойства матриц. Транспонированная матрица.

Матрица - это совокупность чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы. Чтобы отличать матрицу по внешнему виду от определителя, ее заключают в квадратные скобки. Каждый элемент матрицы снабжают двумя индексами: первый соответствует номеру строки, второй - номеру столбца.

1. A + (B + C) = (A + B) + C

2. A + B = B + A

3. A(BC) = (AB)C

4. A(B + C) = AB + AC

5. (B + C)A = BA + CA

6. 

7. 1*A=A

8. следовательно

9. (A^T)^T = A

10. (A * B)^T = B^T * A^T

Т ранспонированная матрица — матрица AT, полученная из исходной матрицы A заменой строк на столбцы. Формально, трансп матрица для матрицы A размеров — матрица AT размеров , определённая как AT[i, j] = A[j, i].

Например, и

Сложение и умножение матриц, умножение матрицы на число.

Суммой( разностью) матриц А и В называют такую матрицу, элементы которой равны сумме ( разности) соответствующих элементов матриц А и В.

Произведением матрицы А на матрицу В определено только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

Произведением матрицы А на число k называется такая матрица k*А, каждый элемент которой равен k*a_ij, т.е. нужно каждый элемент матрицы умножить на число k.

2. «79» Замена переменной: Одним из основных методов интегрирования являются метод замены переменной (или метод подстановки), описываемый следующей формулой: , где –функция дифференцируемая на рассматриваемых отрезках.

Следует отметить, что новую переменную можно не выписывать явно ( в таких случаях говорят о преобразовании функции под знаком дифференциала или о введении постоянных и переменных под знак дифференциала)

«78» Интегрирование подведением под знак дифференциала

Пусть требуется вычислить Предположим, что существуют дифференцируемые функции u=φ(x) и g(u), такие, что , тогда

Указанное преобразование подынтегрального выражения называют подведением под знак дифференциала.

Необходимо иметь в виду простейшие преобразования дифференциала

dx= d (x+b), b= con st; dx=1/a d (ax+b), a = con sty неравное нулю; xdx= ½ d (x² + b); sinxdx = - d (cos x); cosxdx = d (sin x)

В общем случае: J’ (x) dx = dj(x)

«80» Интегрирование по частям

Пусть u=u(x) и v(x) – дифференцируемые функции. По свойству дифференциала d(uv)=v du + u dv или u dv=d(uv)-v(du) интегрируя левую и правую части последнего равенства получаем: – формула интегрирования по частям для неопределенного интеграла. При его применении фиксируется разбиение подынтегрального выражения искомого интеграла на два сомножителя (u и dv) . При переходе к правой части перый из них дифференцируется (при нахождении дифференциала du=u’dx) , второй интегрируется ( ) . Возможность применения формулы интегрирования по частям связаны с тем, что дифференцирование может существенно упростить один из сомножителей (при условии, что дифференцирование не усложнит второй сомножитель)

3. «121»Классическое и статистическое определение вероятности

Вероятность – событие, которое может произойти, а может и не произойти в процессе наблюдения или эксперимента.

При проведении случайного эксперимента реализуется только один из элементарных исходов. Множество элементарных исходов обозначается

Следовательно, вероятность любого события может быть подсчитана по формуле:

которая читается так: вероятность события есть отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов

m-число элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению события А; n – общее число возможных элементарных исходов испытания. Предполагается, что элементарные исходы образуют полную группу и равновозможны.

«123»Теорема (сложения вероятностей). Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

 Следствие 1:Если события А1, А2,…, Аn  образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице.

 Определение.Противоположными называются два несовместных события, образующие полную группу.

Теорема.Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления. P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

Следствие 2:Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.P(A)+P(Ᾱ)=1

Определение. Событие А называется независимым от события В, вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

«124» Теорема умножения вероятностей

Теорема. (Умножения вероятностей)Вероятность произведения двух событий (совместного появления этих событий) равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило. P(AB)=P(A)P(B/A)=P(A)P_A(B) 

Также можно записать: P(AB)=P(A)P(B/A)=P(B)P(A/B)=P(B)P _B(A) 

 В случае произведения нескольких зависимых событий вероятность равна произведению одного из них на условные вероятности всех остальных при условии, что вероятность каждого последующего вычисляется в предположении, что все остальные события уже совершились.   P(A₁, A₂,…, An,)=P(A₁)P(A₂/ A₁)P(A₃/ A₁ A₂)…P(A_n/ A₁ A₂… A_n-1)

Из теоремы произведения вероятностей можно сделать вывод о вероятности появления хотя бы одного события.

Если в результате испытания может появиться п событий, независимых в совокупности, то вероятность появления хотя бы одного из них равна

Здесь событие А обозначает наступление хотя бы одного из событий A_i, а q_i – вероятность противоположных событий .