1)«31» Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми
Уравнение с угловым коэффициентом. y=kx+b k= tg α – угловой коэффициент.
Если b=0 то прямая проходит через начало координат. Уравнение примет вид y=kx
Если α=0, то k = tg α = 0. То прямая пройдет параллельно оси ох. y=b
Если α=π/2, то уравнение теряет смысл. В этом случае уравнение примет
вид
и пройдет параллельно оси оу.
Общее уравнение прямой. Ax+By+C=0
A, B, C – произвольные числа, причем А и В не равны нулю одновременно.
·
Если В=0, то уравнение имеет вид
или .x=-C/A Это уравнение прямой, параллельной оси оу. и проходящей через точку (-C/A;0)
· Если В≠0, то получаем уравнение с угловым коэффициентом .y=-A/B-C/B
· Если А=0, то уравнение имеет вид y=-C/B . Это уравнение прямой, параллельной оси ох.
· Если С=0, то уравнение проходит через т. О (0;0).
Уравнение прямой, проходящей через точку, в данном направлении. т М (х0;у0).
Уравнение прямой записывается в виде .y=kx+b Подставим в это уравнение точку М y0=kx0+b
Решим систему:
Уравнение прямой, проходящей через 2 точки.
К (х1;у1) М (х2;у2)
Уравнение прямой в отрезках.
К (а;0); М (0;b)
Подставим точки в уравнение прямой:
Уравнение прямой, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному
вектору.
М0
(х0;у0).
Возьмем
произвольную точку М (х;у)
Т.к.
,
то
Нормальное уравнение прямой.
Уравнение прямой можно записать в виде:
Т.к.
;
,
то:
«32» Эллипс. Определение. Вывод канонического уравнения.
Эллипсом
называется геометрическое место всех
точек плоскости, сумма расстояний от
которых до фокусов есть величина
постоянная, большая, чем расстояние
между фокусами.
Пусть М (х;у) – произвольная точка эллипса. Т.к. MF1 + MF2 = 2a
Т.к.
То получаем
Или
«38» Скалярное произведение векторов
Ключевые слова: вектор, координаты, скалярное произведение
Определение. Скалярным произведением векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними: .
Основные свойства скалярного произведения
Для любых векторов − a, − b и − c и любого числа справедливы равенства:
(− a)2=(− a − b) 0 , причем (− a)2=0 − a=− 0 ;
переместительный закон: (− a − b)=(− b − a);
распределительный закон: (− a+− b − c)=(− a − c)+(− b − c);
сочетательный закон: (− a − b)=( − a − b).
Определение. Ненулевой вектор называется направляющим вектором прямой a, если он лежит либо на прямой a, либо на прямой, параллельной a. Определение. Углом между ненулевыми векторами называется угол между прямыми, для которых данные вектора являются направляющими. Угол между любым вектором и нулевым вектором по определению считаем равным нулю. Если угол между векторами равен 90°, то такие вектора называются перпендикулярными.
Билет №3
1) «9» Определители 2-го и 3-го порядков.
2) «101» Числовой ряд.
«104» Признаки сходимости д, Аламбера и Коши.
3) «59» Производная сложной функции. Производная обратной функции.
«62» Производные высших порядков
4) Вычислить объем тела
1) «9» Определители 2-го и 3-го порядков.
Определители 3-го порядка. Св-ва элементов aij, где i-номер строка, а j-номер столбца, располагаются в квадратную таблицу, называемую квадратной матрицей третьего порядка. Ей можно поставить в соответствие число, которое называется определителем 3-го порядка.
Определители 2-го порядка Любые 4 числа, расположенные в виде квадратной таблицы, называются квадратной матрицей второго порядка. Каждой квадратной матрице 2-ого порядка можно поставить в соответствие число, называемое её определителем и обозначаемое D=|A|. Определители n-ного порядка равен сумме произведений элементов 1-ой строки на их алгебраические дополнения (Aij соответствующее элементу aij и равно Aij = (-1)i+j *Mij) Результат разложения не зависит от того, по какой строке (столбцу) производится разложение