2) «53» Классификация точек разрыва

1. Устранимый разрыв.

Он имеет место, когда выполнено условие

.

В данном случае достаточно изменить значение функции в точке x0, чтобы разрыва не стало.

Р ис. 2.1 Вид устранимого разрыва

2. Разрыв первого рода (скачок).

Разрыв первого рода (скачок) получается тогда, когда односторонние пределы и существуют, конечны, но не равны между собой, то есть .

Вид функции в случае разрыва первого рода приведен на рис. 2.2.

Рис. 2.2 Вид разрыва первого рода.3. Разрыв второго рода.

Если хотя бы один из и равен ¥± или не существует, то говорят, что функция f(x) имеет в точке x0 разрыв второго рода.Вид разрывов второго рода очень разнообразен. Пример такого разрыва приведен на рис. 2.3. На нем изображен случай, когда f(x0 – 0) конечен, а f(x0 + 0) равен +¥. Рис. 2.3. Пример разрыва второго рода.

3) «107» Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость

ряд u₁+ u₂ + u₃+...+ u_n +... сходится, если сходится ряд |u_1|+| u_2| +| u_3|+...+ |u_n| +....В этом случае исходный ряд наз-ся абсолютно сходящимся. Сходящийся ряд наз-ся условно сходящимся, если ряд расходится.

Билет №11

1. «32» Линии второго порядка. Эллипс, определение канонического уравнения

2. «87» Формула интегрирования по частям, подстановки и замена переменной в определенном интеграле

3. «110» Дифференциальные уравнения. Основные понятия

«111» Уравнения с разделяющимися переменными

4. Задача теория вероятностей

1. Линией второго порядка называется множество всех точек M(x,y) плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению:

где A,B,C,D,E,F — вещественные коэффициенты, причем .

Эллипсом называется геометрическое место всех точек плоскости, сумма расстояний от которых до фокусов есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами. Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии (оси Ох и Оу), а значит, и центр симметрии (начало координат О). Оси симметрии эллипса называются его полуосями; та из них, на которой лежат фокусы, называется большой полуосью, а другая — малой;

П усть 2с — расстояние между фокусами, 2а — сумма расстояний от точки эллипса до фокусов (2a=r1+r2). Введем декартову систему координат Оху так, чтобы фокусы F1 и F2 имели координаты F1 (-с,0) и F2 (с,0), и выведем в ней уравнение эллипса. Стоящую перед нами задачу можно сформулировать так: найти множество всех таких точек М(x, у), для которых MF1 + MF2 = 2а.

В координатах уравнение эллипса принимает вид:

Т.к. То получаем Или

2) Интегрирование по частям. Если функции u ( x ) и v ( x ) имеют непрерывные первые производные и существует интеграл v ( x ) du ( x ), то существует и интеграл u ( x ) dv ( x ) и имеет место равенство: u ( x ) dv ( x ) = u ( x ) • v ( x ) – v ( x ) du ( x ) или в более короткой форме: u dv = u v – v du .

Интегрирование подстановкой ( замена переменной ). Если функция f ( z ) определена и имеет первообразную при z Z , а функция z = g ( x ) имеет непрерывную производную при x X и её область значений g ( X ) Z , то функция F ( x ) = f [ g ( x )] × g' ( x ) имеет первообразную на Х и F ( x ) dx = f [ g ( x )] • g' ( x ) dx = f ( z ) dz .

3) Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию одной или нескольких переменных, эти переменные и производные различных порядков данной функции.

Если искомая функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если от нескольких – то уравнение в частных производных.

В общем случае дифференциальное уравнение можно записать в виде G(x,y,y’,…,y⁽ⁿ⁾)=0 где G – некоторая функция от n+2 переменных, n≥1, при этом порядок n старшей производной, входящей в запись уравнения, называется порядком дифференциального уравнения.

Дифференциальное уравнение n-го порядка называется разрешенным относительно старшей производной, если оно имеет вид y⁽ⁿ⁾=F(x,y,y’,…,y^(n-1)) где F – некоторая функция от n+1 переменной.

Решением дифференциального уравнения называется такая функция y=y(x) , которая при подстановке ее в это уравнение обращает его в тождество.

Задача о нахождении решения некоторого дифференциального уравнения называется задачей интегрирования данного дифференциального уравнения. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой значения независимой переменной x, неизвестной функции y = f(x) и её производных (или дифференциалов).

Дифференциальное уравнение вида X(x)Y(y)dx + X₁(x)Y₁(y)dy = 0 или вида y'=f(x)g(y), где X(x), Y(y), X₁(x), Y₁(y) (или f(x), g(y)) – непрерывные функции, называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Билет №12

1. «36» Действия над векторами, заданными в координатной форме

2. «69» Монотонность функции. Признак монотонности функции

«70» Точки экстремума функции. Необходимое условие экстремума функции в точке

3. «99» Понятие двойного интеграла. Двойной интеграл в прямоугольных декартовых координатах

1. В еличины, которые полностью характеризуются своим численным значением, называются скалярными (скалярами): t°, V, m, время, ...Векторы — величины, для характеристики которых необходимо знать не только их числовые значения, но и направление: F, скорость, ускорение.

обозначение: .Длиной (модулем) вектора называется длина порождающего его отрезка.Обозначение: .Два вектора равны, если:1) длины их равны;2) они параллельны;3) направлены в одну сторону. Два вектора противоположны, если выполняются 1 и 2 пункты, а направлены в разные стороны. Обозначаются: .

Действия над векторами. Произведением вектора на число λ называют вектор который имеет длину , а направление зависит от знака λ. Равенство называется условием коллинеарности векторов: . Единичный вектор имеет длину, равную единице. Для него . Несколько векторов называются компланарными, если они параллельны одной плоскости. Для 3-х векторов условие компланарности имеет вид: .

Проекция вектора на ось. Вектор называется составляющей вектора относительно оси ; длина составляющей называется проекцией вектора на .Проекция .