Глава 5 применение нанотехнологий § 5.1. Объекты нанометрового масштаба и пониженной размерности

Напомним, что наиболее характерные свойства наноструктур являются следствием двух основных условий.

• Атомы, находящиеся в поверхностном слое составляют достаточно большую долю от общего числа атомов, что приводит к доминирующей роли поверхности.

• Электроны в наноструктуре локализованы в области пространства, соразмерной с длиной волны де Бройля для электронов, что обуславливает квантовые размерные эффекты и эффекты пониженной размерности.

Ниже рассмотрим обе группы эффектов.

Доминирующая роль поверхности. Наглядная иллюстрация такого рода эффектов – это резкое уменьшение температуры плавления нанокристаллов (рис. 5.1). Почему происходит снижение температуры плавления можно понять, если учесть, что на поверхности атомы имеют меньшее число соседей, по сравнению с объемом, а следовательно, они менее крепко связаны и менее ограничены в своем тепловом движении. Чем меньше размеры нанокристалла, тем выше в нем доля поверхностных атомов и тем ниже температура плавления. В большинстве случаев уменьшение температуры плавления T_m обратно пропорционально размеру нанокристалла L, то есть T_m 1/L. Если наночастицу составляют всего нескольких атомов, то зависимость T_m(L) может стать немонотонной из-за наличия «магических» кластеров с повышенной стабильностью.

Рис. 5.1. Температура плавления нанокристаллов золота как функция их размера [25]

Квантовые размерные эффекты. Квантовые размерные эффекты имеют место тогда, когда положение электрона ограничено областью пространства, размер которой сравним или меньше длины волны де Бройля электрона. В этом случае разрешенные электронные состояния оказываются дискретными (квантуются). Надо указать, что для экспериментального наблюдения дискретных уровней требуются довольно низкие температуры, чтобы расстояние между уровнями было больше k_BT. Вообще говоря, электроны могут быть локализованы в пространстве в одном, двух или трех измерениях.

• Локализация электронов в одном измерении реализуется в двумерных (2D) объектах, называемых квантовыми пленками.

• Локализация электронов в двух измерениях реализуется в одномерных (1D) объектах, называемых квантовыми проволоками.

• Локализация электронов в трех измерениях реализуется в нульмерных (0D) объектах, называемых квантовыми точками.

Чтобы проиллюстрировать влияние размерности на электронные свойства наноструктур, рассмотрим плотность электронных состояний в идеальных 2D, 1D и 0D случаях. Как известно, решением уравнения Шредингера для свободного электронного газа, заключенного в кубе со стороной L (в предположении бесконечно высокого барьера), являются волновые функции в виде стоячих волн

_n (r) = ехр (ik  r) (5.1)

с компонентами волнового вектора k, удовлетворяющими условиям

, , , (5.2)

где n – положительное или отрицательное целое число.

Энергия E_n записывается в виде:

. (5.3)

Плотность состояний в 3 D случае. В трехмерном k-пространстве каждое разрешенное энергетическое состояние занимает объем (2/L)³. Объем сферического слоя радиуса k и толщиной dk равен 4k²dk. Очевидно, что число состояний в слое dN находится просто делением этого объема на объем, занимаемый одним состоянием, и, принимая во внимание два разрешенных направления спина, равно:

. (5.4)

Поскольку , (5.5)

где m* – эффективная масса электрона в объеме наночастицы.

Плотность состояний на единицу объема при энергии E равна

. (5.6)

Этот результат хорошо известен для свободного электронного газа, где плотность состояний пропорциональна квадратному корню из энергии (рис. 5.2, а).

Плотность состояний в 2D случае. В этом случае процедура во многом аналогична, но только на этот раз одна из компонент k фиксирована, и задача сводится к вычислению числа состояний, лежащих в кольцевом промежутке, ограниченных радиусами k и k+dk. Каждое разрешенное состояние занимает площадь (2/L)², а площадь кольца равна 2kdk. Разделив площадь кольца на площадь, занимаемую одним состоянием, и умножив на 2 из-за двух ориентаций спина, получаем

. (5.7)

Соответственно плотность состояний D_2D(E) на единицу площади равна

. (5.8)

Рис. 5.2. Идеальная плотность состояний для, а – 3D объема; б – 2D квантовой пленки; в – 1D квантовой проволоки; г – 0D квантовой точки

Как можно видеть, плотность двумерных состояний D_2D(E) не зависит от энергии. Принимая во внимание другие уровни энергии E_n, функция плотностей состояний имеет ступенчатый вид (рис. 5.2, б) и описывается выражением:

, (5.9)

где H(E – E_n) – функция Хэвисайда:

(5.10)

Плотность состояний в 1D случае. В одномерном случае две компоненты k фиксированы, следовательно, площадь k-пространства становится длиной, а вместо площади кольца будет отрезок 2dk. Плотность состояний на этом отрезке записывается как

. (5.11)

В случае только одного измерения плотность состояний на единицу длины равна

. (5.12)

С учетом других энергетических уровней функция плотности состояний принимает вид (рис. 5.2, в):

. (5.13)

где H(E – E_n) – это снова функция Хэвисайда, g_n – фактор вырождения.

Плотность состояний в 0D случае. В нуль-мерном случае величины k должны квантоваться во всех измерениях. Всем разрешенным состояниям соответствуют только дискретные значения энергии, и эти состояния могут быть представлены дельта-функциями (рис. 5.2, г). С такой точки зрения идеальные нуль-мерные объекты могут рассматриваться как искусственные атомоподобные системы. Подобно естественным атомам эти малые электронные системы имеют конечное число электронов и дискретный спектр энергетических уровней.