Алгоритм вычисления обратной матрицы.

1. Находим определитель исходной матрицы. Если |A|=0, то матрица - вырожденная и обратной матрицы А^-1 не существует. Если |A|≠0, то матрица невырожденная и обратная матрица существует.

2. Находим матрицу A`, транспонированную к A.

3. Находим алгебраические дополнения элементов A` и составляем из них присоединенную матрицу A^ (состоит из алгебраических выражений А₁₁, А₁₂,…А_nn.

4. Составляем обратную матрицу по формуле А^-1=1/|A| *A^

5. Проверяем правильность вычисления обратной матрицы , исходя из ее определения: А^-1*А=А* А^-1=Е.

Билет 6. Ранг матрицы. Определение. Вычисление.

Пояснить у Сережи!!!!!!

Билет 7. Элементарные преобразования матрицы. Свойства.

Элементарные преобразования матрицы:

1. Отбрасывание нулевой строки (столбца).

2. Умножение всех элементов строки (столбца) на число .

3. Изменение порядка строк (столбцов) матрицы.

4. Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число.

5. Транспонирование матрицы.

Определение. Матрица , полученная из матрицы при помощи элементарных преобразований, называется эквивалентной и обозначается A->B.

Зам1: Если к А ранга r прибав строку или столбец из 0, то ранг получ В = r.

Зам 2: Если к А прибав как-либ строку или столбец, то ранг получ В может превосходить ранг А не более, чем на 1. ВСД r_А= r, r_А= r_В.

Билет 8. СЛАУ. Основные определения.

Системы линейных уравнений находят широкое применение в экономике.

Система m линейных уравнений с n переменными имеет вид:

,

Где a_ij, b_ij (i=1,2…m; j=2,3…n) - произвольные числа, называемые коэффициентами при переменных и свободными членами уравнений, соответственно.

Определение. Решением системы называется такая совокупность значений x₁,x₂…x_n, при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

1. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.

2. Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

3. Две системы уравнений называются равносильными (эквивалентными), если они имеют одно и то же множество решений (например, одно решение).

4. Система называется однородной, если все свободные члены=0; b_i=0.

5. Система называется неоднородной, если существуют i, что все b_i не равно 0.

6. Матрица, состоящая из коэффициентов системы, называется основной матричной системой.

7. Матрица, полученная от добавления к основной столбца свободных членов, называется расширенной матричной системой.

Билет 9. Матричная запись линейной системы алгебраических уравнений.

Обозначим: , где

А – матрица коэффициентов при переменных, или матрица системы, Х – матрица-столбец переменных, В – матрица-столбец свободных членов.

Т.к. число столбцов матрицы A_m*n равно числу строк матрицы X_n*1, то их произведение:

= (b_1, b_{2, …,} b_n)(по верт) = В

Есть матрица-столбец. Элементами полученной матрицы являются левые части начальной системы. На основании определения равенства матриц начальную систему можно записать в виде: .

Билет 10. Система уравнений n*n. Решение с помощью обратной матрицы.

Для получения решения системы при m=n в общем виде предположим, что квадратная матрица системы A_m*n невырожденная, т.е. ее определитель |A|≠0. В этом случае существует обратная матрица А^-1.