Метод обратной матрицы.

Запишем систему в матричной форме: A*X=B, где

- матрица коэффициентов при переменных,

- матрица-столбец переменных; - матрица столбец свободных членов.

Умножим слева обе части равенства на матрицу А^-1: А^-1*(A*X)=А^-1*B => (А^-1*A)*X=А^-1*B => E*X=А^-1*B => X=А^-1*B. Таким образом, решение системы в матричном виде X=А^-1*B.

Билет 11. Система уравнений n*n . Теорема Краммера (без доказательств)

Спросить у Сережи!!!

Теорема Крамера. Пусть |A| - определитель матрицы A системы, а |A|_j - определитель матрицы, получаемой из матрицы A заменой J-го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если |A| ≠0, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам: x_j=|A|_j/|A|, (j=1,2…n). В соответствии с обратной матрицей , где - матрица, присоединенная к матрице . Т.к. элементы матрицы есть алгебраические дополнения элементов матрицы , транспонированной к , то запишем равенство в развернутой форме:

.

Учитывая, что , получим после умножения матриц:

, откуда следует, что для любого .

На основании свойства 9 определителей , где - определитель матрицы, полученной из матрицы заменой -го столбца столбцом свободных членов. Следовательно .

Билет 12. Система уравнений m*n. Элементарные преобразования системы.

Опр: Под Эл-тами преобраз СЛАУ поним след операции:

1) Умножение какого-либо ур-я из сист на m≠0.

2) Прибавл-е к одному ур-ю другого, умнож на произв число.

3) Переставить местами 2х ур-ей системы.

Каждому элементарн преобраз сист соотв аналогичное преобраз над строками расширенной матрицы этой сист и наоборот; поэтому эл преобр сист удобно заменить соотв эл-тами преобраз над строками ее расширенной матрицы. (???)

Теор: При эл преобр сист переходит в равносильную систему.

13. Условие совместимости линейных уравнений. Теоремы о числе решений (без доказательств).

r_A*≥r_A

Теор: Для совместности сист 1, необх и достаточно, чтобы ранг ее матрицы был равен рангу расшир матрицы. r_A*=r_A

Теор. Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, т.е. r_A*=r_A=n , то система имеет единственное решение.

Теор. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, т.е. r<n, то система является неопределенной и имеет бесконечное множество решений.

Определение. Базисным минором матрицы называется любой ненулевой минор, порядок которого равен рангу матрицы.

Определение. Те r неизвестных, коэффициенты при которых входят в запись базисного минора, называются базисными (или основными), остальные (n-r) неизвестных называются свободными (или неосновными).

Решить систему уравнений в случае r<n - это значит выразить базисные переменные через свободные. При этом имеем общее решение системы уравнений. Если все (n-r) свободные переменные равны нулю, то решение системы называется базисным.