- •Свойства определителей
- •Алгоритм вычисления обратной матрицы.
- •Элементарные преобразования матрицы:
- •Метод обратной матрицы.
- •Условие совместимости линейных уравнений. Теоремы о числе решений (без доказательств).
- •14. Методы Гаусса решения слау.
- •Пример. Методом Гаусса решить систему:
- •15. Однородные системы линейных уравнений.
- •16. Виды числовых множеств.
- •17. Понятия отображения и функции. Способы задания функции.
- •Понятие функции одной переменной
- •Способы задания функций:
- •Понятие функции одной переменной
- •Способы задания функций:
- •19. Понятия абсолютной величины. Свойства.
- •20. Монотонные и ограниченные функции. Четные и нечетные. Периодические функции. Сложная и обратная функции.
- •21. Предел функции х→∞и при х→х0. Односторонние пределы. Свойства пределов.
- •Свойства пределов функции
- •22. Числовые последовательности и их пределы. Свойства пределов.
- •23. Бесконечно малые величины. Сравнение бесконечно малых. Бесконечно малые величины
- •Связь бесконечно малых величин с пределами функций
- •Свойства бесконечно малых величин
- •Сравнение бесконечно малых
- •24. Замечательные пределы: число е. Следствия из 2-го замечательного предела. Второй замечательный предел.
- •25. Непрерывность функции. Точки разрыва 1-го и 2-го рода.
- •26. Понятие производной. Геометрический и механический смысл. Определение производной
- •27. Дифференцируемость и непрерывность.
- •28. Правила дифференцирования. Производная сложной функции. Производная линейной функции. Производная суммы, произведения, частного. Производная логарифма.
- •Основные правила дифференцирования
- •Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна алгебраической сумме производных этих функций, т.Е.
- •5. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле
- •29. Правила дифференцирования. Производная от обратной функции. Производная степенной и показательной функции. Логарифмическое дифференцирование.
- •30. Правила дифференцирования. Производные тригонометрических и обратных тригонометрических функций.
- •Производная сложной функции
- •31. Дифференциал функции. Геометрический смысл. Свойства. Инвариантность формы.
- •Инвариантность формы дифференциала
- •32. Производные высших порядков.
- •33. Дифференциалы высших порядков.
- •34. Правило Лопиталя.
Способы задания функций:
а) Аналитический способ, если функция задана формулой вида . Этот способ наиболее часто встречается на практике.
Например, функция задана аналитически. Не следует, однако, смешивать функцию с ее аналитическим выражением. Так, например, одна функция имеет два аналитических выражения: (при ) и (при ).
б) Табличный способ состоит в том, что функция задается таблицей, содержащей значения аргумента и соответствующие значения функции , например, таблица логарифмов, гармонические функции и т.д.
, , .
в) Графический способ состоит в изображении графика функции - множества точек плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента , а ординаты – соответствующие им значения функции .
г) Словесный способ, если функция описывается правилом ее составления, например, функция Дирихле: , если - иррационально.
19. Понятия абсолютной величины. Свойства.
20. Монотонные и ограниченные функции. Четные и нечетные. Периодические функции. Сложная и обратная функции.
1) Четность и нечетность. Функция называется четной, если для любых значений из области определения и нечетной, если . В противном случае функция называется функцией общего вида.
Пример.
а) Функция - четная (рис.3.3 а). т.к ; б) Функция - нечетная (рис.3.3 б). ; в) Функция - общего вида (рис.3.3 в). . |
|
График четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.
2) Монотонность. Функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке , если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции. Функции возрастающие и убывающие называются монотонными функциями.
Пример.
1) Функция - на интервале монотонно возрастает (рис.3.4а). 2) Функция - на интервале монотонно убывает (рис.3.4 б). |
|
3) Ограниченность. Функция называется ограниченной на промежутке , если существует такое положительное число , что для любого . В противном случает функция называется неограниченной.
- ограничена на всей числовой оси, т.к. для любого .
4) Периодичность. Функция называется периодической с периодом , если для любых из области определения функции .
Пример.
, период , т.к. для любых .
|
|
Понятие о сложной функции Пусть даны две функции z = f(y) и у = g(x). Сложной функцией (или композицией функций f и g) называется функцияz = h(x), значения которой вычисляются по правилу h(x) = f(g(x)) (т. е. сначала вычисляется g(x), при этом получается некоторое число у, а затем вычисляется значение в точке у).
Взаимно обратные функции Пусть дана функция у = f(x). Она имеет обратную, если из зависимости у = f(x) можно переменную х однозначно выразить через переменную у. Выразив х через у, мы получим равенство вида х = g(y). В этой записи g обозначает функцию, обратную к f. Если функция g является обратной для функции f, то и функция является обратной для функции g. Пару функций f и g называют взаимно обратными функциями. |
3. График обратной функции Если мы одновременно построим графики функций f и g в одной и той же системе координат, откладывая по оси абсцисс аргументы обеих функций, а по оси ординат – их значения, то эти графики будут симметричны друг другу относительно прямой у = х. |