- •Свойства определителей
- •Алгоритм вычисления обратной матрицы.
- •Элементарные преобразования матрицы:
- •Метод обратной матрицы.
- •Условие совместимости линейных уравнений. Теоремы о числе решений (без доказательств).
- •14. Методы Гаусса решения слау.
- •Пример. Методом Гаусса решить систему:
- •15. Однородные системы линейных уравнений.
- •16. Виды числовых множеств.
- •17. Понятия отображения и функции. Способы задания функции.
- •Понятие функции одной переменной
- •Способы задания функций:
- •Понятие функции одной переменной
- •Способы задания функций:
- •19. Понятия абсолютной величины. Свойства.
- •20. Монотонные и ограниченные функции. Четные и нечетные. Периодические функции. Сложная и обратная функции.
- •21. Предел функции х→∞и при х→х0. Односторонние пределы. Свойства пределов.
- •Свойства пределов функции
- •22. Числовые последовательности и их пределы. Свойства пределов.
- •23. Бесконечно малые величины. Сравнение бесконечно малых. Бесконечно малые величины
- •Связь бесконечно малых величин с пределами функций
- •Свойства бесконечно малых величин
- •Сравнение бесконечно малых
- •24. Замечательные пределы: число е. Следствия из 2-го замечательного предела. Второй замечательный предел.
- •25. Непрерывность функции. Точки разрыва 1-го и 2-го рода.
- •26. Понятие производной. Геометрический и механический смысл. Определение производной
- •27. Дифференцируемость и непрерывность.
- •28. Правила дифференцирования. Производная сложной функции. Производная линейной функции. Производная суммы, произведения, частного. Производная логарифма.
- •Основные правила дифференцирования
- •Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна алгебраической сумме производных этих функций, т.Е.
- •5. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле
- •29. Правила дифференцирования. Производная от обратной функции. Производная степенной и показательной функции. Логарифмическое дифференцирование.
- •30. Правила дифференцирования. Производные тригонометрических и обратных тригонометрических функций.
- •Производная сложной функции
- •31. Дифференциал функции. Геометрический смысл. Свойства. Инвариантность формы.
- •Инвариантность формы дифференциала
- •32. Производные высших порядков.
- •33. Дифференциалы высших порядков.
- •34. Правило Лопиталя.
25. Непрерывность функции. Точки разрыва 1-го и 2-го рода.
2. Если не существует, то точку x0 ϵ X называем точкой существенного разрыва функции f. При этом
а) если существуют конечные пределы
f(x0 - 0), f(x0 + 0) (f(x0 - 0) ≠ f(x0 + 0)),
то точку x0 называем точкой разрыва первого рода функции f;
б) все остальные точки существенного разрыва называем точками разрыва второго родафункции f.
Поскольку в изолированной точке x0 ϵ X функция f: X → R непрерывна, то ее точками разрыва могут быть лишь предельные точки x ϵ X.
Основные свойства непрерывных функций
Функция f: [a, b] → R называется непрерывной на сегменте [a, b], если она непрерывна на интервале ]a, b[ и в точке a непрерывна справа, а в точке b - слева.
Пусть функция f: [a, b] → R непрерывна на сегменте [a, b], тогда:
1) она ограничена на этом сегменте;
2) если , то на сегменте [a, b] существуют точки x1 и x2 такие, что f(x1) = m, f(x2) = M (теорема Вейерштрасса);
3) она принимает на каждом сегменте , все промежуточные значения между f(α) и f(β) (теорема Коши).
В частности, если f(α)f(β) < 0, то найдется такое значение γ (α < γ < β), то f(γ) = 0.
Функция f: ]a, b[ → R называется кусочно-непрерывной на интервале ]a, b[, если она непрерывна во всех точках этого интервала, кроме конечного числа точек разрыва первого рода и конечного числа точек устранимого разрыва.
26. Понятие производной. Геометрический и механический смысл. Определение производной
Пусть на некотором промежутке Х определена функция y=f(x). Возьмем любую точку . Зададим аргументу х произвольное приращение ∆х ≠ 0 такое, что точка х+∆х также будет принадлежать Х. Функция получит приращение ∆у= f(x+∆х)− f(x).
Определение. Производной функции y=f(x) в точке х называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю (при условии, что этот предел существует).
Для обозначения производной функции y=f(x) в точке х используются символы у′(х) или f′(x).
Итак, по определению, .
Если для некоторого значения х0 выполняется условие
или ,
т.е. пределы равны бесконечности, то говорят, что в точке х0 функция имеет бесконечную производную.
Если функция y=f(x) имеет конечную производную в каждой точке , то производную f′(x) можно рассматривать как функцию х, также определенную на Х. Нахождение производной функции называется дифференцированием функции. Если функция в точке х имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка Х, называется дифференцируемой на этом промежутке.
Механический смысл производной. Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан: координата x движущейся точки –известная функция x ( t ) времени t. В течение интервала времени от t0 до t0 + точка перемещается на расстояние: x ( t0 + ) - x ( t0 ) = , а её средняя скорость равна: va = / .При 0 значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называетсямгновенной скоростью v ( t0 ) материальной точки в момент времени t0 . Но по определению производной мы имеем:
отсюда, v ( t0 ) = x’ ( t0 ) , т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной. Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени: a = v’ ( t ).