27. Ковариантное и контравариантное преобразование

Ковариантность и контравариантность — математическое и физическое понятие, которое описывает то, как величины изменяются при преобразовании системы координат. 

Общее определение ковариантности и контравариантности исходит из того, как компоненты объектов преобразуются при изменении базиса. Пусть V — векторное пространство размерности n над полем скаляров S, и пусть каждый из f = (X₁,…,X_n) и f' = (Y₁,…,Y_n) — базис V. Также, пусть изменение базиса из f в f′ даётся

 

для некоторой обратимой n×n матрицы A с величинами  . Здесь, каждый вектор Y_j из f' базисов — это линейная комбинация векторов X_i из f базиса, поэтому

.

Контравариантные преобразования

Вектор v в V представляется единственным образом как линейная комбинация элементов f базиса как

, (2)

где vⁱ[f] — это скаляры из S известные как компоненты v в f базисе. Обозначают вектор столбец компонентов v как v[f]:

поэтому (2) может быть переписано как произведение матриц

Вектор v может также быть выражен в виде f' базиса, поэтому

.

Однако, так как вектор v сам инвариантен при изменении базиса,

Инвариантность v комбинирует с отношением (1) между f и f' обеспечивает

что дает правило преобразования

В виде компонент,

,где коэффициенты   есть величины обратной матрицы к A. Потому, что компоненты вектора v преобразуются обратно к матрице A, про эти компоненты говорят, что они преобразуются контравариантно при преобразовании базиса.

Ковариантные преобразования

Линейный функционал α на V представляется единственным образом в виде sкомпонент (скаляров в S) в f базисе как

Эти компоненты есть действие α на базисные вектора X_i f базиса.

При изменении базиса из f в f' (1), компоненты преобразуются как

. (3)

поэтому может быть переписано как произведение матриц

Поскольку компоненты линейного функционала α преобразуются с матрицей преобразования A, говорят, что эти компоненты преобразуются ковариантно при изменении базиса.

28. Уравнение статики. Однородная атмосфера

Атмосфера, как показывают повседневные наблюдения, на­ходится в постоянном движении по отношению к поверхности Земли. Состояние покоя, или штиль, наблюдается сравнительно редко и то лишь вблизи поверхности Земли. Пусть атмосфера находится в состоянии покоя по отноше­нию к земной поверхности. Та­кое состояние атмосферы на­зывается статическим. Тогда горизонтальная составляющая градиента давления G2 должна обращаться в нуль (в про­тивном случае под влиянием этой силы воздух придет в движе­ние). Для этого необходимо и достаточно, чтобы изобарические поверхности совпадали с уровенными. Выделим в атмосфере две изобарические поверхности, рас­положенные на высотах z и z+dz. Давление на этих поверхностях обозначим через р и р+dр. Между изобарическими поверхностями р и р + dр выделим объем воздуха с горизонтальными основаниями 1 см2. На ниж­нее основание выделенного объема воздуха действует сила давления р, равная по величине р и направленная снизу вверх, на верхнее основание — сила давления р + dр, рав­ная по величине р+dр и направленная сверху вниз. Силы дав­ления, действующие на боковые грани объема воздуха, взаимно уравновешиваются. Кроме сил давления, на объем воздуха действует сила тяжести Р, равная по величине Р=gρdz*1см2 и направленная сверху вниз (по вертикали).Спроектируем все силы, действующие на выделенный объем воздуха, на положительное направление вертикали z, вдоль которой действует (в отрицательном направлении) сила тяже­сти. Сумма этих проекций равна р + (p + dр)(-1) + Р(-1).Поскольку выделенный объем воздуха находится в покое, векторная сумма всех действующих на объем сил, т. е. резуль­тирующая их, и сумма проекций этих сил на любое направле­ние должны тождественно обращаться в нуль: р-(p+dр)-P=0.Подставляя вместо Р его значение по соотношению , получаем основное уравнение статики атмосферы и гидросферы: — dр —gρdz = 0, или — dр=gρdz. Разделив левую и правую части на dz, получим второй вид основного уравнения статики атмосферы: - dp/dz=gρ. Величина – dp/dz представляет собой вертикальную составляющую градиента давления. В случае статического равно­весия G₂=0, поэтому G₁ равно полному градиенту давления G. Правая часть представляет собой величину силы тяжести, действующей на единичный объем воздуха, масса ко­торого равна р. Таким образом, основное уравнение статики физически выражает собой равновесие двух сил: градиента дав­ления и силы тяжести.Из основного уравнения статики атмосферы можно сделать три важных вывода: 1. Если высота возрастает (dz>0), то в правой части (3) стоит произведение только положительных множителей: gpdz> >0. Поэтому и левая часть (3) также больше нуля — dp>0, или dp<0.

Таким образом, увеличению высоты (dz>0) всегда соответ­ствует отрицательное приращение давления (dp<0). Это зна­чит, что в атмосфере давление всегда падает с увеличением вы­соты

2) Атмосферное давление, или давление воздуха, на каждом уровне представляет собой вес столба воздуха с поперечным сечением 1 см² и высотой от данного уровня до верхней границы атмосферы.

3) Чем выше расположен уровень, тем меньше величина падения давления при подъеме на одну и ту же высоту dz. Также при увеличении высоты на одну и ту же величину относительно некоторой изобарической поверхности величина падения давления в более холодной воздушной массе больше, чем в теплой массе, т.е. в холодной массе давление падает с высотой быстрее, чем в более теплой.

Однородная атмосфера

Предположим, что плотность воз­духа в пределах всей атмосферы не изменяется с высотой

р = р0 = const, где р_о—плотность воздуха при z=0. Такая атмосфера носит название однородной. Пренебрежем зависимостью ускорения силы тяжести от высоты. получим барометрическую формулу однородной атмосферы: p=p₀-gρ₀dz.

Согласно этой формуле, давление в однородной атмосферы падает с высотой по линейному закону: на сколько возрастав высота, па столько же падает и давление (рис). Отметим, что в приложении к атмосфере формула дает заведомо далекое о реальных условий распределение давлена Но для гидросферы, плотность которой из меняется в очень узких пределах (плотность воды близка 1 г/см3), формула дает вполне удовлетворительные результаты. Поэтому ее можно назвать барометрческой формулой гидросферы. Поставим вопрос о высоте однородной атмосферы, т. е. такой высоте, на которой давление обращается в нуль (р = 0). Обозначим ее через Н. Имеем 0= p₀-gρ₀H или H= p₀/ gρ₀. Так как p₀/ ρ₀= RcT0, где Т₀ температура воздуха при z=0, то формула приним вид: H= RcT₀/g=273 Rc/g(1+αt0).Отсюда следует, что высота однородной атмосферы конечна и зависит только от температуры воздуха на поверхности 3емли. При t0=0° она составляет Н₀ =273 Rc/g=273*276/981=7990=8000 м. Поскольку плотность в однородной атмосфере постоянна давление быстро падает с высотой, то температура ее, равная по уравнению состояния T=p/ Rc ρ₀,должна понижаться. Беря производную по высоте от левой и правой частей, получаем dT/dz=1/Rc ρ0*dp/dz. находим следующее выражение для вертикального градиента температуры (уA) в однородной атмо­сфере:yA = -dT/dz=g/Rc=3,42 град/100 м. Таким образом, в однородной атмосфере температура падает с высотой по линейному закону Т= Т₀ — уAz, при этом скорость падения (градиент) значительно больше среднего значения у в пределах тропосферы. Вертикальный гра­диент температуры уA в однородной атмосфере получил назва­ние градиента автоконвекции. Изменение плотности воздуха с высотой. В связи с введе­нием понятия градиента автоконвекции рассмотрим вопрос об изменении плотности воздуха с высотой в общем случае. С этой целью возьмем так называемую логарифмическую производную по высоте от левой я правой частей уравнения состояния 1/p*dp/dz=1/p*dρ/dz+1/T*dT/dz. Заменяя dp/dz: 1/ρ*d ρ /dz=-1/T(g/Rc+dT/dz), или 1/ρ*d ρ /dz=1/T(y-yA). Формула (З.Н) справедлива для любого распределения тем­пературы воздуха с высотой. На основе ее можно сделать вы­воды относительно изменения плотности воздуха с высотой. Воз­можны три различных случая. а) Если у> yA=3,42град/м, т. е. плотность воздуха возрастает с высотой. Вертикальные градиенты температуры у больше, чем 3,42 град/100 м, в реальных условиях ат­мосферы могут наблюдаться лишь в дневные часы (летом) в приземном слое атмосферы. Такое состояние атмосферы яв­ляется, очевидно, сильно неустойчивым: небольшое возмущение приведет к тому, что верхние более плотные частицы начнут опускаться вниз, а нижние более легкие — подниматься вверх: возникнет движение воздуха, называемое конвекцией. Отсюда и название у —градиент автоконвекции. б) Если у= yA, то dp/dz =0, т. е. плотность воздуха не изме­няется с высотой: р = р0 = const . Это — случай одно­родной атмосферы. в) Если y<yA, то dp/dz<0, т. е. плотность воздуха убывает (падает) с высотой. Этот случай является абсолютно преобладающим в условиях атмосферы. Прежде всего выше призем­ного слоя у< yA при любых состояниях атмосферы.