- •1.Пространство rⁿ
- •2.Метрическое пространство, евклидово пространство.
- •3.Основные или важнейшие множества точек пространства
- •3.Функции n-переменных.
- •4.Сходимость в пространтсве Rn.
- •6.Предел функции нескольких переменных.
- •8.Повторные пределы.
- •9.Непрерывность функции нескольких переменных.
- •10.Непрерывность функции нескольких
- •11. Основрые свойства непрерывных функций нескольких переменных
- •12. Частные производные ф-ии нескольких переменных
- •13. Дифференцируемость ф-ии нескольких переменных
- •14. Дифференциал функции нескольких переменных
- •15. Достаточное условие дифференцируемости ф-ии нескольких переменных
- •16. Дифференцирование сложной ф-ии
- •17. Однородная функция. Теорема эйлера об однородных функциях
- •18. Инвариантность формы первого дифференциала функции нескольких переменных
- •19. Геометрический смысл дифференциуемости функции двух переменных
- •20. Производная по направлению
- •22.Частные производные высшего порядка.
- •23.Теорема о равенстве смешанных производных второго порядка ф-ции двух переменных.
- •24.Производные высших порядков.
- •27. Экстремум функции многих переменных.
- •28.Достаточные услов локальн экстрем ф-ций нескол перемен.
- •28. Критерий Сильвестра
- •29.Определение наибольшего и наименьшего значения
- •30.Не явные ф-ции.
- •31.Вычисление частных производн неявно заданных ф-ций.
- •32.Неявные ф-ции определ систем функцион уравнений.
- •33. Зависимость ф-и нескольких переменных
- •34.Функциональные матрици
- •35. Усл.Экстремум
- •36.Метод неопредёлённых множетелей Логранжа.
- •37.Числовой ряд. Сходимость, расходимость рядов.
- •38.Необход признак сходим ряда.
- •39. Признак сравнения рядов
- •40.Признак Даламбера.
- •41.Признак Коши.
- •42. Интегральный признак Коши
- •43. Признак Лейбница
- •44. Абсолютная сходимость рядов
- •45. Признаки Дирихле и Абеля
- •47.Функциональные последовательности и ряды.
- •48.Равномерная сходимость функциональных рядов.
- •49.Свойства равном сходящ функции рядов.
- •50.Степенные ряды.
- •55.Ряд Фурье для четн. И нечетн. Ф-ий:
- •56.Ряд Фурье для ф-ций заданных на отрезке .
1.Пространство rⁿ
n-мерным координатным пространством наз.множество всевозможных упорядоченных совокупностей (х₁х₂..хn) n действительных чисел х₁х₂..хn это пространство обозначается Rⁿ. Каждая упорядоченная совокупность (х₁х₂..хn) наз. Точкой n-мерного координатного пространства и обознач. М при этом числа х₁х₂..хn наз. координатами точки М запись М(х₁х₂..хn) означает, что точка М имеет координаты х₁х₂..хn . Пусть Rⁿ действительное n-мерное пространство произвольным его точкам =(х₁х₂. хn) =(у₁у₂.. уn) поставим в соответствие число(х,у)= х₁ у₁+… хn уn,которое наз. скалярным произведением элементов х и у . свойства: 1. (х,у)= (у,х) 2.(х+у)z = (х,z)+ (y,z) 3.(λху)=λ(ху) 4.(х,х)≥0 причем (х,х)=0 только для х=0. Арифметическое значение корня квадратного из скалярного произведения (х,х) наз. нормой элемента х и обознач //х//=√(х,х)
2.Метрическое пространство, евклидово пространство.
пусть Rⁿ действительное n-мерное пространство произвольным его точкам =(х₁х₂. хn) =(у₁у₂.. уn) поставим в соответствие число(х,у)= х₁ у₁+… хn уn которое наз. скалярным произведением элементов х и у . n-мерное пространство Rⁿ ,где введено скалярное произведение наз. евклидовым n-мерным пространством. Норма элемента х в евклидовом пространстве Rn опред. по формуле //х//= n² при n=3 норма элемента х //х//- длина вектора х=(х₁х₂х₃). Нормированное пространство всегда является так называемым метрическим пространством т.е. таким пространством в котором указано правило ставящее в соответствие любым двум элементам х и у действительное число которое наз. расстоянием между этими элементами и обознач. ρ(х,у) указанное правило удовлет. условиям1. ρ(х,у)= ρ(у,х)2. ρ(х,у)<= ρ(х,z)+ ρ(z,у)3. ρ(х,у)>=0 ρ(х,у)=0 == >x=y
3.Основные или важнейшие множества точек пространства
1. множества всевозможных точек пространства Rⁿ координаты которых х₁х₂..хn удовлетворяют неравенству(х₁- х₁⁰)²+…+( хn- хn⁰)²< R² наз. открытым n-мерным шаром радиуса Rс центром в точке М(х₁⁰х₂⁰х₃⁰) 2. Множ. {М} всевозможных точек пространства Rⁿ удовлетворяющих неравенству ρ(М₁М₀)≤ R наз. замкнутым n-мерным шаром радиуса R n-мерным шаром 3. Множ. {М} всевозможных точек пространства Rⁿ координаты которых удовлетвор. равенству ρ(М₁М₀)= R наз. n-мерной сферой радиуса R с центром в точке М₀ 4.открытый n-мерный шар радиуса ε>0 с центром в точке М₀ наз. ε-окрестностью точки М₀ 5. Множ. {М} всевозможных точек пространства Rⁿ координаты которых удовлетворяют неравенствам /х₁- х₁⁰/<d₁…. /хn- хn⁰/<dn, где d₁.. dn-некоторые положительные числа, наз. открытым n-мерным координатным паралелипипедом с центром в точке М₀(х₁⁰х₂⁰…хn⁰) или прямоугольник окрестн. точки М₀ 6.точка М множ. {М} точек пространства Rⁿ наз. внутренней точкой этого множ. если сущ. некоторая ε-окрестность точки М все точки которой принадлежат множ. {М} 7. Точка М пространства Rⁿ наз. внешней точкой множ. {М} если сущ. ε-окрестность точки М все точки которой не принадлежат множ.{М} 8. Точка М пространства Rⁿ наз. граничной точкой множ. {М} если эта точка не является ни внутренней ни внешней точкой этого множ .Граничная точка множ. {М} может как принадлежать так и не принадлежать этому множ. 9. произвольное множ. {М} точек пространства Rⁿ наз. открытым если любая точка этого множ. является внутренней точкой. 10. Произвольное открытое множ. содержащая данную точку М₀ наз. окрестностью точки М₀ 11. произвольное множ. {М} точек пространства Rⁿ наз. замкнутым если это множ. содержит все свои граничные точки 12.{M} точек пр-ва Rⁿ наз.ограниченным, если найдется n-мерный шар содержит все точки этого мн-ва 13.{M} точек пр-ва Rⁿ наз связным, если любые две точки этого мн-ва можно соединить непрерывной кривой все точки которой этому мн-ву 14.Всякое открытое и связное мн-во в пр-ве Rⁿ наз областью 15.Если {M} представляет собой область, то мн-во, полученное присоединением к {M} всех его граничных точек наз замкнутой областью