- •1.Пространство rⁿ
- •2.Метрическое пространство, евклидово пространство.
- •3.Основные или важнейшие множества точек пространства
- •3.Функции n-переменных.
- •4.Сходимость в пространтсве Rn.
- •6.Предел функции нескольких переменных.
- •8.Повторные пределы.
- •9.Непрерывность функции нескольких переменных.
- •10.Непрерывность функции нескольких
- •11. Основрые свойства непрерывных функций нескольких переменных
- •12. Частные производные ф-ии нескольких переменных
- •13. Дифференцируемость ф-ии нескольких переменных
- •14. Дифференциал функции нескольких переменных
- •15. Достаточное условие дифференцируемости ф-ии нескольких переменных
- •16. Дифференцирование сложной ф-ии
- •17. Однородная функция. Теорема эйлера об однородных функциях
- •18. Инвариантность формы первого дифференциала функции нескольких переменных
- •19. Геометрический смысл дифференциуемости функции двух переменных
- •20. Производная по направлению
- •22.Частные производные высшего порядка.
- •23.Теорема о равенстве смешанных производных второго порядка ф-ции двух переменных.
- •24.Производные высших порядков.
- •27. Экстремум функции многих переменных.
- •28.Достаточные услов локальн экстрем ф-ций нескол перемен.
- •28. Критерий Сильвестра
- •29.Определение наибольшего и наименьшего значения
- •30.Не явные ф-ции.
- •31.Вычисление частных производн неявно заданных ф-ций.
- •32.Неявные ф-ции определ систем функцион уравнений.
- •33. Зависимость ф-и нескольких переменных
- •34.Функциональные матрици
- •35. Усл.Экстремум
- •36.Метод неопредёлённых множетелей Логранжа.
- •37.Числовой ряд. Сходимость, расходимость рядов.
- •38.Необход признак сходим ряда.
- •39. Признак сравнения рядов
- •40.Признак Даламбера.
- •41.Признак Коши.
- •42. Интегральный признак Коши
- •43. Признак Лейбница
- •44. Абсолютная сходимость рядов
- •45. Признаки Дирихле и Абеля
- •47.Функциональные последовательности и ряды.
- •48.Равномерная сходимость функциональных рядов.
- •49.Свойства равном сходящ функции рядов.
- •50.Степенные ряды.
- •55.Ряд Фурье для четн. И нечетн. Ф-ий:
- •56.Ряд Фурье для ф-ций заданных на отрезке .
3.Функции n-переменных.
Если каждой точки М из множ. {М} точек n-мерного евклидового пространства Rⁿ ставятся в соответствие по известному закону некоторое число U, то говорят ,что на множ. {М} задана функция U=f(М). Множ. {М} наз. областью задания функции U=f(М). число U соотв. данной точки М из множ. {М} наз. частным значениям функции в точке М.Совокупность всех частных значений функции наз. множ .значений этой функции т.к. точка М(х₁х₂…хn) то для функции U=f(М) используется обозначение U=f(х₁х₂…хn). Функцию n-переменных можно рассматривать как отображение некоторого множ. в простр. Rⁿ в некоторое множ. действит. чисел
4.Сходимость в пространтсве Rn.
ОРП Последовательность {Мn} точек евклидового пространства наз. сходящейся если сущ. точка А этого пространства такая, что для любого ε >0 можно указать N-номер что при всех n>N выполняется неравенство: ρ(МnА)<ε, при этом точка А наз. пределом последоват. {Мn} и обозначается ОРП последоват. {Мn} точек пространства наз. фундаментальной или последовательностью Коши, если для любого ε >0 сущ. N, что при n>N и любого m≥0 выполняется неравенство ρ( Mn)<ε ОРП для того чтобы последоват. {Мn} точек пространства была сходящейся необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.
6.Предел функции нескольких переменных.
По-Гейне: число в наз. пределом функции U=f(М) в точке А, если для любой сходящийся к А последоват. { } точек множ.{М} все элементы , которой отлич. от А соответствует числовая послед. значений функции {f( )} сходящейся к числу В. по-Коши : число в наз. пределом функции U=f(М) в точке А, если для любого ε >0 найдется отвечающее ему число δ>0 такое, что для любой точки М из множ.{М} удовлетвор. условию 0< ρ(МnА)<δ выполнялось неравенство / f(М)-в/<δ
7.Критерий Коши существования предела функции нескольких переменных. Опр-е(предел ф-ции в т.А по Коши): Число b наз-ся пределом ф-ции u=f(M) в т.А если для любого ε>0 найдется отвечающее ему число δ>0 такое что для любой т.М из мн-ва удовл. условию 0<ρ(M,A)< δ вып. нер-во: Опр-е: Говорят, что ф-ция u=f(M) удовл. условию Коши в т. М=А, если для любого ε>0 найдется δ= δ(ε) >0, такое что для любых точек М’,M’’ из множества задания ф-ции удовл. условиям: 0<ρ(M’,A)< δ, 0<ρ(M”,A)< δ. Справедливо нер-во Теорема(Критерий Коши): Для того чтобы ф-ция u=f(M) имела конечны предел в т. М=А необходимо и достаточно чтобы эта ф-ция удовлетворяла в т. М=А условию Коши.
8.Повторные пределы.
Пусть функция U=f(х,у) задана в некоторой прямоугольной плоскости /х-х₀/<α₁ ,/у-у₀/<α₂ в точке М₀( х₀, у₀), за искл. быть может самой точки х₀. Пусть для каждого фиксированного у удовлетвор. условию 0</у-у₀/<d₂ сущ. одной переменой х точки х=х₀ сущ. . Пусть сущ. предел функции ) в точке у=у₀ т.е. В этом случае говорят, что сущ. повторный предел для функции U=f(х,у) в точке М₀ который обозначается . Аналогично