32.Неявные ф-ции определ систем функцион уравнений.

Пусть m ф-ций u1= (x1,x2…xn), u2= (x1,x2…xn)… un= (x1,x2…xn)

Ищутся как решении системы m функцион уравнен системы: F1= ( u1,u2…un, x1,x2…xn)=0, F2= u1,u2…un, x1,x2…xn)=0,..Fn=( u1,u2…un, x1,x2…xn)=0 (1). Состав из частн производ ф-ций F1, F2…. Fn определитель: этот определ наз определ Якоби или якобианом по перемен u1,u2…um и обозн: . Теор: пусть m ф-ций (1) дифференц в некоторой окрестн точки М0 , … ; , … ) простр Rn+m причем частн произв этих ф-ций по перемен u1,u2…um непрер в точке М0 тогда если в точке М0 все ф-ции (1) обращ в 0, а якобиан отличен от 0, то для достат малых полож чисел: найд такая точка М0; , … ) простр Rn, что в приделах этой окрестн сущ единств m ф-ции: u1= (x1,x2…xn), u2= (x1,x2…xn)… un= (x1,x2…xn) котор удовл услоям: и явл решен системы уравн (1) при чем это решение непрер и диференц в указанной точке М0. Замеч: при m=1 эта теор переходит в теор о сущ неявной ф-ции т.к. в этом случаи якобиан превращ в частную произ: . Рассм вопрос о нахож частн произ ф-ций неявно определ системой функцион уравнен (1) подстав ф-ции ui= (x1,x2…xn) в систему уравн: Fj=(u1,u2…um; x1,x2…xn)=0 продифференц получ тождества по переем x1,x2…xn получ частн производ: =0 эти равенст представл собой систему лин уравнен относ неизв: ; … . Определ этой системы отлич от 0 в окрест точки М0, поэтому эта система имеет единств решение определ ф-лами Крамера: = . Замеч: Выраж для частн произв второго и более высоких порядков, можно получить по средствам дифференц указанных ф-ций.

33. Зависимость ф-и нескольких переменных

(3.7)

Теорема 4 (достаточное условие независимости) Пусть1) функции (3.7) дифференцируемы в некоторой окрестности точки ; 2) якобиан этих функций по каким-либо переменным не равен нулю в этой точке. Тогда функции (3.7) независимы в некоторой окрестности точки .Следствие Если функции (3.7) зависимы в некоторой окрестности точки , то все якобианы равны нулю в этой окрестности. Опр: если не сущ-ет дифф-ой функции Ф токой, что для всех (.) облости Д справедливо тождествоUk= Ф(U1 ,U2 ,…Uk+1,…Um), то фун-ии (U1 ,U2,…Um) называются независимыми в облости Д.

34.Функциональные матрици

Пусть у функциональной матрицы

1.нек-ый минор r порядка отличен от 0 в т. М0

2. все миноры порядка r+1 равны 0 в не-ой окрестности т. М0

Тогда r ф-ций представленных в указ. Миноре к-ого порядка независимы в окр-ти т. М0 , а каждая из остальных ф-ций зависит в этой окр-ти от указ. r ф-ций.

35. Усл.Экстремум

Рассмотрим функцию , . Будем считать, что ее аргументы являются связанными между собой

(6.1)

Соотношения (6.1) называются уравнениями связи Пусть координаты точки удовлетворяют данной системе уравнений. Говорят, что функция имеет в точке условный минимум (максимум) при условиях связи (6.1), если существует такая -окрестность точки , что для любой точки , , координаты которой удовлетворяют уравнениям (6.1), выполняется неравенство ).В отличие от обычной (безусловной) точки экстремума, значение функции в точке условного экстремума сравнивается с ее значениями не во всех точках некоторой -окрестности точки , а только в тех ее точках, которые связаны между собой условиями связи.