48.Равномерная сходимость функциональных рядов.

Функцион послед наз равномерно сход к ф-ции f(x) на мн-ве Х если N=N( ) n>N и всех х Х выполн нерав: . Рассмотр сход на мн-ве Х функц ряд: для котор Sn(x)= +un(x), тогда S(x)= . Опред: функцион ряд наз равномерн сходящ на некотор мн-ве, если равномерн сход на этом мн-ве приним во вниман определ равном сход функц послед получим след опред равном сход функцион ряда: функцион ряд наз равном сход на мн-ве Х если N=N( ) n>N и всех х Х выполн нерав: . Теор(кретер равном сходим функцион ряда): функцион ряд равном сход на мн-ве Х тогда и только тогда когда N=N( ) n>N и всех х Х выполн . Теор Веерштрасса(достат признак равномер сход функцион ряда): если члены функцион ряда определ на мн-ве Х и по модулю непревосх соотв членовсходящ числов ряда с полож членами:

0, тоесть , то этот функцион ряд равном сход на мн-ве Х. Д-во: если сход то в соотв с кретер Коши N=N( ) n>N такой что , n>N илюбого натур p отсюда след что любые n>N и всех х : , тоесть в соотв с кретерием равном сходим данный функцион ряд сход равном на мн-ве Х.

49.Свойства равном сходящ функции рядов.

Теор1:если ряд сход равном на мн-ве Х на котором его члены непрер то сумма ряда S(x) явл непрер ф-цией на мн-ве Х. Д-во: зафиксир произв знач х0 Х, пусть Sn(x) n-ая частичн сумма данного ряда, rn(x) –остаток ряда после n-го члена, тогда S(x)= Sn(x)+ rn(x), = + rn(x)- rn(x0); поскол ф-ции непрер на мн-ве Х то и любое х конечн сумма Sn(x) так же непрер на этом мн-ве. Задав можно указ , что при будет выпол нерав: т.к. ряд сход равном то N=N( ) n>N и всех х Х выполн нерав: , , это означ что ф-ция S(x) непрер в точке х0. Теор: пусть дан функцион ряд если ф-ции непрер на и данный ряд сход равном на тоесть =S(x), то ряд получ интегриров членов данного ряда, так же равном сход на причем . Д-во: пусть = ; rn(x)= пусть т.к. ряд сход равном то тогда: . Теор: пусть дан ряд пусть ф-ции определ на отрез имеют на нем непрер u’n(x), если на данный ряд сход равномерн и равном сход ряд составл из произв , то S(x) имеет производн: S’(x)= это равенство означ, что равномерно сходящ ряд можно почленно дифференцировать.

50.Степенные ряды.

Опред: степенным рядом наз функционал ряд вида: где - действ числа, которые наз каэф ряда степен рядом так же ряд: : Теор Абеля:если степенн ряд сходит при некотор знач 0 то он абсал сход при любом х для которого Д-во: по услов ряд - сходит поэтому по необход признаку сходим: , поэтому существ число C>0 что для всех n выполн нерав : <c; n<c n ряд n – сходит при <1 поэтом абсал сход и данный ряд при обсал велич . Следствие: если степен ряд рассход при х1 то он расход и при любом х для котор Из теор Абеля след что если степен ряд сход при 0 то он сход при если он расход при х=х1 то он расход при x< ; x> . Определ: радиусом сходим степен ряда наз число R токое что при ряд сход, а при ряд расход. Интервалом сходим ряда наз интервал (-R;R) где R- радиус сходим ряда; если степен ряд сход в единств точке то считает R=0, если он сход при любом х, то полог R= . Найд выраж радиуса сходим степен ряда через его каэф для этого примен признак Даламбера к исслед сходим ряда: предпол что an 0 = , тогда = ряд сходится при и расход при , тоесть R-радиус сходим т.о. радиус сходим степенного ряда определ выраж:R= , если этот придел сущ. Предпол что сущ применяя признак Коши получ: ряд сход если следов радиус сход: R= . Свойств степенных рядов:1) степен ряд сходит равном на отрезке целиком принадл его интервалу сходим; 2) сумма степен ряда явл непрер ф-цией на любом отрезке целиком пренадл его интервалу сходим; 3) степен ряд можно почленно интегрир по любому отрезку целик пренадл его интервалу сходим; 4) если степен ряд имеет интерв (-R;R) и S(x) его сумма то ряд получен почлен дифференц исходного ряда имеет тот же интерв сход при чем любое х (-R;R): S’(x)= ; 5) степен ряд можно почлен диференц любое число раз в интерв его сходим. Разлож некотор ф-ций в степен ряды: рассм ряд =1+х+х2+… этот ряд явл геом прогресс и сход при -1<x<1 сумма: S(x)= эта ф-ла представл собой разлож в степен ряд ф-ции: f(x)= радиус сход R=1. Если вместо х подстав –ч то получ разлож в степн ряд ф-уи:f(x)=1-x+x2-x3… интерг этот ряд по отр: получ: , при х=1 этот ряд сход т.к. ln(1+1)=ln2=1- при замене х на –х получ: ln(1-x)=-x- - ряд сход при .

52.Ряд Тейлора:

Пусть ф-ия имеет в окр-ти точки производные любого порядка. Ряд

Наз-ся рядом Тейлора ф-ии в точке .Если , то ряд Тейлора имеет вид и наз-ся рядом Маклорена.

54. Тригонометрический ряд Фурье:

Пусть ( ) – ортогональная система функций в .Выр-ие . Наз-ся обобщенным рядом Фурье по ортогональной системе ф-ий ( ). Если ( ) – основная тригоном-ая система ф-ий, то ряд наз-ся тригоном.рядом Фурье.