9.Непрерывность функции нескольких переменных.
Рассмотрим
функцию U=f(М)= f(х₁х₂..хn) заданной на
некотором множ. {М} пространства Rⁿ.
Пусть А-некоторая точка пространства
Rⁿ
принадлеж. множ. {М} и такая, что в любой
δ-окрестности точки А содержит точки
множ. {М} т.е А-предельная точка множ.
{М}ОПР
функция U=f(М)наз. непрерывной в точке
А, если
ОПР по-Гейне:
функция U=f(М)наз непрерывной в точке А,
если для любой сходящейся к точке А
последоват. {
}точек
множ. {М} соответствует числовая послед
{f(
)}
значения этой функции сходятся к числу
ОПР
по-Коши:
функция U=f(М)наз. непрерывной в точке
А, если для любого ε
>0 сущ. δ= δ(ε)>0 такое что для любой
точки М из множества определений этой
функции удовлетвор. условию ρ(М,А)<δ
справедливо неравенство /
ОПР
функция U=f(М) определенная на множ. {М}
наз. непрерывной на этом множестве,
если она непрерывна в каждой точке
этого множества.
10.Непрерывность функции нескольких
Функция
U=f(х₁х₂..хn)наз.
непрерывной в точке М (х₁х₂..хn)
по переменной
,
если частное приращение Δ
U
этой функции в точке М представляет
собой бесконечно малую функцию т.е
.
При фиксированных значениях всех
переменных кроме переменной
функции
U=f(х₁х₂..хn)
представляет собой функцию одной
переменной
. поэтому непрерывность функции по
переменной
означает непрерывность указанной
функции одной переменной. Из условия
непрерывности функции в данной точке
М вытекает непрерывность этой функции
в точке М по каждой из переменных
х₁х₂..хn.
11. Основрые свойства непрерывных функций нескольких переменных
1. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД НЕПРЕРЫВНЫМИ ФУНКЦИЯМИ
Если
ф-ии f(x) и g(x) определены на одном и том
же множ-ве {M} и непрерывны в каждой точке
А этого множ-ва, то ф-ии
так же непрерывны в точке А.
2. НЕПРЕРЫВНОСТЬ СЛОЖНОЙ Ф-ИИ
Введем
понятие сложной ф-ии нескольких
переменных. Пусть ф-ии
,
…,
заданы на множ-ве {N} евклидово пр-ва
.
- коор-ты точек в этом пр-ве. Тогда в
каждой точке
становится в соответствие точка M с
коор-ми
пр-ва пр-ва
.
Пусть {М} множ-во всех таких точек. Пусть
- ф-ии n-переменных, заданная на множ-ве
{М}. Тогда говорят, что на множ-ве {N}
евклидово пр-ва
определена сложная ф-ия
,
где
явл ф-ями переменных
.
ТЕОРЕМА
Пусть
ф-ии
(1)
Непрерывны
в точке
,
а ф-ия
непрерывна в точке
, где
, i=1,2, …, n.
3.ТЕОРЕМА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ЗНАКА НЕПРЕРЫВНОЙ Ф-ИИ
Если
ф-ия
непрерывна в точке А пр-ва
и
,
то сущ такая
-окрестность
точки А, в пределах которой ф-ия не
обращается в 0 и имеет знак совпадающий
со знаком
.
4.ТЕОРЕМА О ПРОИСХОЖДЕНИИ НЕПРЕРЫВНОЙ Ф-ИИ ЧЕРЕЗ ЛЮБОЕ ПРОМЕЖУТОЧНОЕ ЗНАЧЕНИЕ
Пусть
ф-ии
непрерывна во всех точках связного
множ-ва {М} евклидово пр-ва
, причем,
значение этой ф-ии в точках А и В этого
множ-ва. Пусть любое число, заключенное
между
,
тогда на любой непрерывной кривойб
соединяющей точки А и В, и целиком
расположенной во множ-ве {М} найдется
N, что
.
5.ОГРАНИЧЕННОСТЬ Ф-ИИ НЕПРЕРЫВНОЙ НА ЗАМКНУТОМ ОГРАНИЧЕННОМ МНОЖ-ВЕ
ТЕОРЕМА(первая теорема Вейерштрасса)
Если ф-ия непрерывна на замкнутом ограниченном множ-ве М, то она ограничена на этом множ-ве.
6.ДОСТИЖЕНИЕ Ф-ИЕЙ НЕПРЕРЫВНОЙ НА ЗАМКНУТОМ ОГРАНИЧЕННОМ МНОЖ-ВЕ СВОИХ ТОЧНЫХ ГРАНЕЙ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Точной
верхней гранью ф-ии
на множ-ве {М} наз такое число
,
которое удовлетворяет условиям:
для
все точек множ-ва {М}.
найдется
хотя бы одна точка М множ-ва {М}, для
которой
и обозначается
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Точной
нижней гранью ф-ии
на множ-ве {М} наз такое число
,
которое удовлетворяет условиям:
для
все точек множ-ва {М}.
найдется
хотя бы одна точка М множ-ва {М}, для
которой
и обозначается
ВТОРАЯ ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА
Если ф-ия непрерывна на замкнутом ограниченном множ-ве {М}, то она достигает на этом множ-ве своих верхней и нижней граней.
7.РАВНОМЕРНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ Ф-ИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Ф-ия
наз
равномерно-непрерывной на множ-ве {М}
евклидово пр-ва
,
если для
можно указать такое
,
что для любых двух точек M’, M’’ из
множ-ва {М}, удовлетворяющих условию
выполняется нер-во
.
ТЕОРЕМА КАНТОРА
Непрерывная на замкнутом ограниченном множ-ве ф-ия равномерно-непрерывна на этом множ-ве.