48. Экономическое содержание двойственности.

3.4. Экономическое содержание двойственности

Основа планово-экономических задач: при ограниченных ресурсах достигнуть наилучшего экономического эффекта.

Как правило, любое производство характеризуется готовой продукцией и наличием отходов основного производства. Отходы могут служит сырьем для выпуска вторичных изделий. Возникает двойственная задача оценки отходов с учетом возможности их использования и получения дополнительной прибыли от инвестированных проектов.

Для учебных целей сформируем двойственную пару задач линейного программирования для данной ситуации. Введем знаково-лингвистическое определение ситуации.

Рис. 3.2. Пример работы программы RAND4x6 (DOS-версия)

Виды и количество отходов обозначим через множество Q:

Q={q₁;q₂;…q_j;…q_n},

где q_j – количество q_j для j–го вида отходов.

Виды и количество вторичных изделий обозначим через X:

X={x₁; x₂;…x_i;…x_m},

где {x_i} – неизвестные нам количества, подлежащие планированию.

Стоимость единицы отхода также неизвестна, обозначим ее через y={y₁; y₂;…y_j;…y_n}.

Неизвестная прибыль от прямой продажи отходов может составить .

Выбрасывая отходы, мы получаем минимальную прибыль, равную нулю. Желательно увеличить эту прибыль за счет вторичного производства.

Пусть имеются инвестиционные проекты на X видов вторичных изделий или способов использования отходов, по которым известна матрица удельных расходов A=[a_ij] и отходов Q на единицу изделия x_iX.

Маркетинг показывает нам рыночную стоимость одного изделия x_iX. Пусть она равна b_iB:

B={b₁; b₂;…b_i;…b_m}.

С учетом введенных обозначений получаем таблицу типа транспортной.

		Y
X	B	y1		yj		yn
x1	b1	a11		a1j		a1n
xi	bi	ai1		aii		ain
xm	bm	am1		amj
Q		q1		qj		qn

Из последней на алгебраическом уровне абстрагирования формируется следующая двойственная пара задач:

1. суммы по столбцам определяют ОДР – X:

;

–

задача максимизации прибыли от вторичного использования отходов;

2. суммы по строкам определяют ОДР – Y:

;

–

задача минимизации расходов покупателя отходов.

Упражнение

Требуется:

1. Составить двойственную пару задач.

Решение:

1.1.

		Y
X	B	y1	y2	y3	y4
x1	20	3	2	4	1
x2	30	3	6	0	2
Q		15	18	16	8

1.2.

ОДР – X

w20x₁+30x₂

1.3.

ОДР – Y

r15y₁+18y₂+16y₃+8y₄ .