22. Потоки событий и их свойства (стационарность, отсутствие последействия, ординарность).

§ 16. Потоки событий

Важной характеристикой потока событий является его интенсивность — среднее число событий, приходящееся на единицу времени. Интенсивность по­тока может быть как постоянной ( = const), так и переменной, зависящей от времени t.

Например, поток автомашин, движущихся по улице, днем интенсивнее, чем ночью, в часы пик — интенсивнее, чем в другие часы.

Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через определенные, равные промежутки времени.

Поток событий называется стационарным, ес­ли его вероятностные характеристики не зависят от времени. В частности, интенсивность стационарного потока должна быть постоянной. Это отнюдь не зна­чит, что фактическое число событий, появляющееся в единицу времени, постоянно,— нет, поток неизбежно (если только он не регулярный) имеет какие-то слу­чайные сгущения и разрежения,

Поток событий называется потоком без последействия, если для любых двух непересекаю­щихся участков времени и (см. рис. 16.2) число событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на другой.

23. Экспоненциальное распределение, как частный случай распределения Пуассона.

Простейший или стационарный пуассоновский поток событий

Поток событий называется простейшим (или стационарным пуассоновским), если он обладает сразу тремя свойствами: стационарен, ординарен и не имеет последействия.

Название «простейший» связано с тем, что процессы, связанные с простейшими потоками, имеют наиболее простое математическое описание.

Для простейшего потока интервал Т менаду соседними событиями имеет так назы­ваемое показательное распределение с плотностью

Коэффициент вариации

V_T=1 , т. е. для простейшего потока событий коэффициент вариации интервалов между событиями равен единице.

24. Элемент вероятности события.

Элементом вероятности называется вероятность попадания на этот участок хотя бы одного события потока.

25. Потоки Пальма и Эрланга для многоканальной смо с отказами. Многоканальная смо с отказами

Рассмотрим n-канальную СМО с отказами. Будем нумеровать состояния системы по числу занятых каналов (или, что в данном случае то же, по числу заявок, связанных с системой). Состояния будут:

S₀ – все каналы свободны;

S₁ – занят ровно один канал, остальные свободны;

……

S_k – заняты ровно k каналов, остальные свободны;

…….

S_n– заняты все n каналов.

 

Граф состояний имеет следующий вид. Слева направо систему переводит один и тот же поток – поток заявок с интенсивностью l.

 

Очевидно,  если обслуживанием занято 2 канала, а не один, поток обслуживаний, переводящий систему по стрелке S₂®S₁,  будет вдвое интенсивнее (2m), если занято k- каналов – в k раз интенсивнее (km). Процесс такого вида представляет собой частный случай процесса гибели и размножения. Составляем уравнения Колмогорова:

  (9.6).  

Уравнения (9.6) называются уравнениями Эрланга. Естественными начальными условиями являются:

p₀(0)=1; p₁(0)=p₂(0)=…=p_n(0)=0

Интегрировать (6) в аналитическом виде довольно сложно, на практике решают численно с использованием ЭВМ. Такое решение дает нам все вероятности состояний как функции времени:   p₀(t),  p₁(t), …, p_n(t).

Больше всего интересны предельные вероятности состояний, характеризующие установившийся режим работы СМО (при t®Ґ). Воспользуемся готовым решением, полученным для схемы гибели и размножения:

    (k=1,2,..n)   (9.7).     

 

Обозначим  и будем называть величину r «приведенной интенсивностью» потока заявок. Физический смысл её таков: величина r представляет собой среднее число заявок, приходящих в СМО за среднее время обслуживания одной заявки. С учетом этого (9.7) принимает вид:                                            

 (9.8).  Формулы Эрланга.

Теперь можно найти характеристики эффективности  СМО: q, А, Р_отк.

Заявка получает отказ, если приходит в момент, когда все n каналов заняты. Вероятность этого равна:

.

            Вероятность того, что заявка будет принята к обслуживанию (она же q) дополняет Р_отк до 1: q= 1-p_n. И наконец:  А= lq=l(1- p_n).

Одной из важных характеристик СМО с отказами является среднее число занятых каналов (в данном случае оно совпадает со средним числом заявок, находящихся в системе). Обозначим это среднее число . Величину  можно вычислить непосредственно по формуле:

как математическое ожидание дискретной случайной величины, принимающей значение 0,1, …nс вероятностями  p₀, p₁…p_n.

            Однако значительно проще выразить  через А . А есть не что иное, как среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени; один занятый канал обслуживает в среднем за единицу времени m заявок; следовательно, среднее число занятых каналов

  или .

Поток событий называется рекуррентным (ина­че— «потоком Пальма»), если он стационарен, орди­нарен, а интервалы времени между событиями Т₁, Т₂, Т₃, ... (см. рис. 16.4) представляют собой независимые случайные величины с одинаковым произвольным распределением (например, с плотностью, показанной на рис.

Простейший поток представляет собой частный случай рекуррентного потока, когда интервалы между событиями имеют показательное распределение