19. Граф гибели – размножения, марковская цепь событий.

1. Схема гибели и размножения.

Из первого уравнения (19.2) выразим р₁ через р₀

(19.4)

Из второго, с учетом (19.4), получим:

(19.5)

из третьего, с учетом (19.5),

(19.6)

вообще, для любого к (от 1 до n):

(19.7)

МАРКОВСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Случайный процесс, протекающий в систе­ме, называется марковским, если для любого момента времени t₀ вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент to и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние.

Проблема (на примере) из книги Вентцель:

S₀ — оба узла исправны,

S₁— первый узел ремонтируется, второй исправен,

S₂ — второй узел ремонтируется, первый исправен,

S₃ — оба узла ремонтируются.

20. Реальные системы (процессы) и их представление в смо (на примере объекта с ограниченным множеством состояний).

21. Дифференциальные уравнения Колмогорова для смо.

§ 17. Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний. Финальные вероятности состояний

Пример размеченных графов «состояний и переходов»

Пример применения уравнений Колмогорова

УПРАЖНЕНИЕ

Общее правило составления уравнений Колмогорова.

В левой части каждого из уравнений стоит производная вероятности рассматриваемого какого-то (i-го) состояния. В правой части — сумма произведений вероятностей всех состояний? из которых идут стрелки в данное состояние, на интенсивности соответствующих потоков событий, минус суммарная интенсивность всех потоков, выводящих систему из данного состояния, умноженная на вероятность данного (i-гo) состояния.

Упражнение 1.. Составить систему диф. уравнений Колмогорова по графу рис.17.2

Задача 1

Задана система диффуров Колмогорова

Поставим теперь вопрос: что будет происходить с вероятностями состояний при ? Будут ли р₁(t), p₂(t),... стремиться к каким-то пределам? Если эти пределы существуют и не зависят от начального со­стояния системы, то они называются финальными вероятностями состояний

Для финальных состояний имеем систему линейных алгебраических уравнений и нормировочное условие для вероятностной меры

p₀ + p₁ + р₂ + р₃ = 1

Пусть плотности потоков равны:

Независимых уравнений три при известном нормировочном уравнении. Поэтому одно из уравнений можно заменить нормировочным, например нижнее (4-е по счёту). Получили систему ур-й:

В итоге имеем:

Комментарий к итогу решения проблемы:

В предельном, стационарном режиме система S в среднем 40% времени будет проводить в состоянии S₀ (оба узла исправны), 20%

— в состоянии S₁ (первый узел ремонтируется, второй работает), 27%

—в состоя­нии S₂ (второй узел ремонтируется, первый работает)

и 13%—в состоянии S₃ полной негодности (оба узла ремонтируются).

Если известна эффективность (прибыль) от работы в каждом состоянии системы, например, кортеж (8, 3, 5, 0), то доход в среднем равен: