2.2.Теорема Остроградского-Гаусса.
Теорема Остроградского–Гаусса была установлена русским математиком и механиком Михаилом Васильевичем Остроградским в виде некоторой общей математической теоремы и немецким математиком Карлом Фридрихом Гауссом. Данная теорема может быть использована при изучении физики на профильном уровне, так как позволяет более рационально производить расчёты электрических полей.
2.3.Вектор электрической индукции
Для
вывода теоремы Остроградского–Гаусса
необходимо ввести такие важные
вспомогательные понятия, как вектор
электрической индукции 
и
поток этого вектора Ф.
Известно,
что электростатическое поле часто
изображают при помощи силовых линий.
Предположим, что мы определяем
напряжённость в точке, лежащей на границе
раздела двух сред: воздуха(
=1)
и воды (
=81).
В этой точке при переходе из воздуха в
воду напряжённость электрического поля
согласно формуле 
уменьшится
в 81 раз. Если пренебречь проводимостью
воды, то во столько же раз уменьшится
число силовых линий. При решении различных
задач на расчёт полей из-за прерывности
вектора напряжённости 
на
границе раздела сред и на диэлектриках
создаются определённые неудобства.
Чтобы избежать их, вводится новый
вектор
,
который называется вектором электрической
индукции: 
Вектор
электрической индукции равен произведению
вектора
на
электрическую постоянную 
и
на диэлектрическую проницаемость среды
в данной точке
.
Очевидно,
что при переходе через границу двух
диэлектриков число линий электрической
индукции не изменяется для поля точечного
заряда 
(1).
В
системе СИ вектор электрической индукции
измеряется в кулонах на квадратный метр
(Кл/м2). Выражение (1) показывает, что
численное значение вектора
не
зависит от свойств среды. Поле
вектора
графически
изображается аналогично полю
напряжённости 
(например,
для точечного заряда см. рис.1). Для поля
вектора
имеет
место принцип суперпозиции: 
2.4.Поток электрической индукции
Вектор электрической индукции характеризует электрическое поле в каждой точке пространства. Можно ввести ещё одну величину, зависящую от значений вектора не в одной точке, а во всех точках поверхности, ограниченной плоским замкнутым контуром.
Для
этого рассмотрим плоский замкнутый
проводник (контур) с площадью поверхности
S, помещённый в однородное электрическое
поле. Нормаль 
к
плоскости проводника составляет угол 
с
направлением вектора электрической
индукции (рис. 2).
Потоком
электрической индукции через поверхность
S называют величину, равную произведению
модуля вектора индукции 
на
площадь S и на косинус угла
между
вектором
и
нормалью
: 
2.5.Вывод теоремы Остроградского–Гаусса
Эта теорема позволяет найти поток вектора электрической индукции через замкнутую поверхность, внутри которой находятся электрические заряды.
Пусть
вначале один точечный заряд q помещён
в центр сферы произвольного радиуса
r1 (рис. 3). Тогда 
; 
.
Вычислим полный поток индукции проходящий
через всю поверхность этой сферы: 
; 
(
).
Если возьмём сферу 
радиуса 
,
то также Ф = q. Если проведём сферу 
,
не охватывающую заряд q, то полный поток
Ф = 0 (так как каждая линия войдёт в
поверхность, а другой раз выйдет из
неё).
Таким образом, Ф = q, если заряд расположен внутри замкнутой поверхности и Ф = 0, если заряд расположен вне замкнутой поверхности. Поток Ф от формы поверхности не зависит. Он также не зависит от расположения зарядов внутри поверхности. Это значит, что полученный результат справедлив не только для одного заряда, но и для какого угодно числа произвольно расположенных зарядов, если только подразумевать под q алгебраическую сумму всех зарядов, находящихся внутри поверхности.
Теорема
Гаусса: поток электрической индукции
через любую замкнутую поверхность равен
алгебраической сумме всех зарядов,
находящихся внутри поверхности: 
.
Из формулы видно, что размерность электрического потока такая же, как и электрического заряда. Поэтому единицей потока электрической индукции служит кулон (Кл).
Примечание:
если поле неоднородно и поверхность,
через которую определяют поток, не
является плоскостью, то эту поверхность
можно разбить на бесконечно малые
элементы ds и каждый элемент считать
плоским, а поле возле него однородным.
Поэтому для любого электрического поля
поток вектора электрической индукции
через элемент поверхности есть: dФ =
.
В результате интегрирования полный
поток через замкнутую поверхность S в
любом неоднородном электрическом поле
равен: 
,
где q – алгебраическая сумма всех
зарядов, окружённых замкнутой поверхностью
S. Выразим последнее уравнение через
напряжённость электрического поля (для
вакуума): 
.
Это одно из фундаментальных уравнений Максвелла для электромагнитного поля, записанное в интегральной форме. Оно показывает, что источником постоянного во времени электрического поля являются неподвижные электрические заряды.