- •Пензенский Государственный Университет Кафедра «Автоматика и телемеханика»
- •Электростатика.
- •1.Электростатическое поле
- •1.1.Электрическое поле в вакууме
- •1.2.Закон Кулона
- •1.3Напряженность Электростатического поля
- •1.4.Принцип суперпозиции
- •1.5.Линии напряженности полей.
- •2.Теорема Остроградского-Гаусса.
- •2.1.Поток векторов напряженности электростатического поля
- •2.2.Теорема Остроградского-Гаусса.
- •2.3.Вектор электрической индукции
- •2.4.Поток электрической индукции
- •2.5.Вывод теоремы Остроградского–Гаусса
- •2.6.Применение теоремы Гаусса
- •3.Электростатическое поле в диэлектрической среде.
- •3.1. Электрический Диполь
- •3.2.Поляризация диэлектриков.
- •4.Постоянный электрический ток
- •4.1.Электрический ток.
- •4.2.Основы классической электрической теории электропроводности металлов.
- •4.3. Закон Ома для плотности тока
- •5.Законы постоянного тока
- •5.1. Закон Ома для неоднородного участка цепи.
- •5.2.Закон Джоуля-Ленца.
- •Магнетизм
- •1.1.Магнитное поле и его свойства
- •1.2.Закон Био-Свара-Лапласа
2.6.Применение теоремы Гаусса
Поле непрерывно распределённых зарядов
Определим теперь с помощью теоремы Остроградского-Гаусса напряжённость поля для ряда случаев.
1. Электрическое поле равномерно заряженной сферической поверхности.
Сфера радиусом R. Пусть заряд +q равномерно распределён по сферической поверхности радиуса R. Распределение заряда по поверхности характеризуется поверхностной плотностью заряда (рис.4). Поверхностной плотностью заряда называют отношение заряда к площади поверхности, по которой он распределён. . В СИ .
Определим напряжённость поля:
а) вне сферической поверхности, б) внутри сферической поверхности.
а) Возьмём точку А, отстоящую от центра заряженной сферической поверхности на расстоянии r>R. Проведём через неё мысленно сферическую поверхность S радиуса r, имеющую общий центр с заряженной сферической поверхностью. Из соображения симметрии очевидно, что силовые линии являются радиальными прямыми перпендикулярными к поверхности S и равномерно пронизывают эту поверхность, т.е. напряжённость по всех точках этой поверхности постоянна по величине. Применим теорему Остроградского-Гаусса к этой сферической поверхности S радиуса r. Поэтому полный поток через сферу равен N = E? S; N=E . С другой стороны . Приравниваем: . Отсюда: при r>R.
Таким образом: напряжённость, создаваемая равномерно заряженной сферической поверхностью, вне её такая же, как если бы весь заряд находился в её центре (рис.5).
б) Найдём напряжённость поля в точках, лежащих внутри заряженной сферической поверхности. Возьмём точку В отстоящую от центра сферы на расстоянии <R, и проведём через эту точку сферическую поверхность имеющую общий центр с заряженной сферической поверхностью. Из соображения симметрии ясно, что напряжённость должна быть численно одинакова на всей выбранной поверхности сферы S и нормальна к ней. Применяя теорему Остроградского-Гаусса к сферической поверхности S на основании формулы: N=E? S, S=4p т.к. заряд внутри сферы S q = 0, то . Тогда , E = 0 при r<R. Следовательно, напряжённость электрического поля во всех точках внутри равномерно заряженной сферической поверхности равна нулю.
2. Напряжённость поля равномерно заряженной бесконечной плоскости
Рассмотрим электрическое поле создаваемое бесконечной плоскостью, заряженной с плотностью , постоянной во всех точках плоскости. По соображениям симметрии можно считать, что линии напряжённости перпендикулярны к плоскости и направлены от неё в обе стороны (рис.6).
Выберем точку А, лежащую справа от плоскости и вычислим в этой точке, применяя теорему Остроградского-Гаусса. В качестве замкнутой поверхности выберем цилиндрическую поверхность таким образом, чтобы боковая поверхность цилиндра была параллельна силовым линиям, а его основания и параллельны плоскости и основание проходит через точку А (рис. 7). Рассчитаем поток напряжённости через рассматриваемую цилиндрическую поверхность. Поток через боковую поверхность равен 0, т.к. линии напряжённости параллельны боковой поверхности. Тогда полный поток складывается из потоков и проходящих через основания цилиндра и . Оба эти потока положительны = + ; = ; = ; = = ; N = 2 .
– участок плоскости лежащий внутри выбранной цилиндрической поверхности. Заряд внутри этой поверхности равен q.
. Тогда ;
СГСЭ ;
Итак величина не зависит от положения рассматриваемой точки А и определяется только поверхностной плоскостью зарядов . Вектор всюду направлен перпендикулярно плоскости,
а ) если >0 от плоскости (рис. 8).
б) если <0 тогда к плоскости (рис. 9).
3. Поле двух параллельных плоскостей
Плоскости заряжены разноимёнными зарядами с плотностями +s и -s (рис.10). напряжённость полей обеих плоскостей между плоскостями направлены в одну сторону, следовательно, их геометрическая сумма является их арифметической суммой в вакууме .
И так: во всех точках пространства между плоскостями, вектор напряжённости имеет одинаковую величину и направлен от положительно заряженной плоскости до отрицательно заряженной плоскости, т.е. поле между плоскостями однородное. Вне этих плоскостей поле равно “0” .
Пример решения задачи на вычисление электрических полей
Металлическое кольцо радиусом R имеет заряд q. Чему равны напряжённость поля и потенциал:
а) на расстоянии а от центра вдоль оси, перпендикулярной плоскости кольца; б) в центре кольца?
Решение:
Возьмём элемент кольца , который создаёт в точке А электрическое поле напряжённостью (рис.11). Вектор напряжённости направлен по линии , соединяющей элементы кольца с зарядом ( – можно принять за точечный заряд) с точкой А. Для нахождения суммарного поля надо геометрически сложить все поля, создаваемые каждым элементом: . Вектор напряжённости имеет две составляющие: (нормальная и касательная составляющие).
Составляющие от каждых двух диаметрально расположенных элементов взаимно уничтожаются, тогда результирующие поле и вектор направлен вдоль оси. Из рисунка 24 следует, что ; где . Учитывая, что напряжённость поля точечного заряда получим: .
Для нахождения потенциала суммируем алгебраически потенциалы, создаваемые отдельными элементами :
В центре кольца а = 0, поэтому из предыдущего следует, что ; .