53. Екінші ретті сызықтардың жалпы теңдеуінің инварианттары туралы теорема.
Екінші ретті сызықтар деп, декарт координаталарында екінші дәрежелі алгебралық теңдеулермен анықталатын сызықтарды айтады. Белгісіздер х және у-ке қарағанда екінші дәрежелі жалпы теңдеу мына түрде жазылады:
Ах2+Вху+Су2+Dx+Ey+F=0
Мұндағы А,В,С коэфиценттерінің ең кемінде біреуі нөлге тең емес.Ғылым мен техника салаларында қолданылатын сызықтар: шеңбер,эллипс, гипербола, парабола пайда болады.
Шеңбер: (х-а)2+(у-b)2=R2 Бұл теңдеу центрі С(а;b) нүктесінде жататын радиусы R болатын шеңбердің жалпы теңдеуі д.а.немесе шеңбердің канондық теңдеуі де бола алады, себебі шеңбердің сыртқы және ішкі нүктелері шеңберді қанағаттандырады.
Эллипс: х2/а2 + у2/b2 =1 a ≥b≥0 теңдеуімен анықталады.
Эксцентриситеті с/а=ε ε2 =1-b2/a2 r1=a+εx , r2= a-εx(радиус-векторы)
Директрисалары: r2/d2=(a- εx)/(l-x)=ε((-a/ ε)-x)/(l-x); l=a/ε ; ε=r2/d2; x=±(a/ ε)
Гипербола: х2/а2 - у2/b2 =1 a>0, b>0 теңдеуімен анықталады. Радиус-векторы:
r1=| εx+a| r2= |εx-a|
эксцентриситеті: с/а шамасын береді
директрисалары: r2/d=(εx-a)/(x-(a/ ε))
(εx-a)/(( εx-a)/ ε)= ε r2/d= ε x=±(a/ ε)
Парабола:
х2-px+p2/4+y2= х2+px+p2/4 y2=2px радиус-вектор: r=p/2+x
Екінші ретті сызықтардың центрі туралы теоремаларды дәлелдеу. Центрі бар және центрі жоқ қисықтар.
Анықтама: С(х0,y0) –нақты нүкте, М(х,у) нақты және жорамал нүкте.
Мˈ(xˈ,yˈ) нүктесі М(х,у) нүктесіне С(х0,y0) нүктесі арқылы симетриялы деп аталады егер келесі теңдік орындалса: х0=(х-хˈ)/2 ; y0=(y-yˈ)/2.
Ɣ қисығының центрі деп С(х0,y0) нүктесін атаймыз егер Ɣ қисығының ɏ нүктесінде М(х,у) үшін оған С нүктесін (х0,y0) арқылы симметриялы (xˈ,yˈ) нүктесіде қисықтың бойында жатса.
Теорема: С(0,0) Ɣ қисығының центрі болады α13=0, α23=0.
Д/у:
жетк. α13=0,
α23=0.
F( x,y)=α11x2+2 α12xy+ α22y2+ α33=0
М(х,у) ͼ Ɣ, Мˈ(х,у)Ϲ Ɣ
F( -x,-y)=α11 (-x)2+2 α12 (-x)(-y)+ α22 (-y)2+ α33=0
Мˈ(х,-у)Ϲ Ɣ С(0,0)- центр.
Қажет. С(0,0)- центр. М(х,у)Ϲ Ɣ Мˈ(-х,-у)Ϲ Ɣ
(1) F( x,y)=α11x2+2 α12xy+ α22y2+ α33=0
(2) F( -x,-y)=α11 (-x)2+2 α12 (-x)(-y)+ α22 (-y)2+ α33=0
Бірінші теңдеуден екіншісін аламыз 4 α13x+4 α23y=0
(*) α13x+ α23y=0 демек М(х,у) Ɣ қисығының ɏ нүктесі болғандықтан (*) теңд.қанағаттандырады. онда Ɣ екі рет алынған түзу деп қарастырамыз ж/е α132+α232≠0 деп алып кері жоримыз.
(Ax+By+C)2= A2x2+B2y2+C2+2 AxBy+ 2AxC+2CBy A2x2+B2y2+C2+2 ABxy+ 2ACx+2CBy α33=C=0, AC=0, BC=0.
α13=0,
α23=0.
ТЕОРЕМА: С(х0,y0) нүктесі Ɣ қисығының центрі болу үшін, келесі теңд-р жүйесінің шешімі болу қажетті ж/е жеткілікті:
(*) жүйе α11х+ α12у+ α13=0
α21х+ α22у+ α23=0
Д/у: x=x+x0
y=y+y0
F( xˈ,yˈ)=αˈ11xˈ2+2 αˈ12xˈyˈ+ αˈ22yˈ2+2 αˈ13xˈ+2 αˈ13yˈ+αˈ33=0
αˈ13y =α11х0 + α12у+ α13
αˈ23 =α21х0 + α22у+ α23
Сˈ (0,0) теорема 1 бойынша (3) тең-н берілген қисықтың центрі Сˈ (0,0) αˈ13=0, αˈ23=0.
Ескетру: Қисықтың центрін табу үшін шешу керек,осының шешімі центрдің координаталары болады.
α11х=0
α22у=0
α11х2+ α22у2+ α33=0 , α11҂0 ,α22҂0.
Бірінші түрдегі қисықтардың жалғыз бір центрі болады.
α22у=0
α23=0
α22у2+2α13х=0 ,
Екінші түрдегі қисықтардың центрі жоқ.
0=0
α22у=0
α22у2+ α33=0 3-ші түрдегі қисықтардың центрі ақырсыз көп.
55. Екінші ретті сызықтардың диаметрлері
Егер f1 ,f2 арасындағы арақфшықтық тең болса,онда ол эллипс. f1 ,f2-фокус.а- үлкен ось. ) Оптикалық қасиет: оптикалығы жаңқала эллипстың фокусiнен ол сәуле түскен шығу екiншi фокустер арқылы өтедi
Эллипстың
диаметрi.Эллипстың диаметрiмен эллипстың
ортасы арқылы өтетiн әр түрлi төте деп
атайды. Эллипс мейлi канондық теңдеумен
берiлген:
Бас
нүктесі Парабола
ның төбесінде жатқан және Ох осі
директрисадан фокусқа қарай бағытталған
тік бұрышты координаттар жүйесіндегі
Параболаның
теңдеуі мынадай канондық түрде жазылады:
у2=2px,
мұндағы р
(фокустық параметр)
– фокус
пен директрисаның ара қашықтығы немесе
фокус арқылы өтетін оське перпендикуляр
хорда ұзындығының жартысы. Парабола
– екінші ретті сызық. Ол өз осіне
қарағанда симметриялы болатын шексіз
созылып жатқан қисық сызық.
Кейде n-ретті
Параболаны y=axn
дәрежелі функциясының графигі деп те
атайды. Параллель хордалардың ортасы
арқылы өтетін түзу Параболаның диаметрі
деп аталады. Параболаның Мнүктесіндегі
ТМ
жанамасы мен MN
нормалі FM
фокустық радиус-векторы мен DM
диаметрі арасындағы бұрыштың биссектрисасы
болып табылады.
гиперболалар, кез келген басқалары сияқты кез келген басқалары сияқты конустық қима, параллел хордаларының орта өтетiн төте болып табылады. Параллел хордаларының әрбiр бағытына өз кездесетiн диаметрiне сәйкес келедi. Гиперболаның барлық диаметрлерi оның орталықтары арқылы өтедi. Диаметр, тиiстi хордалар, параллел жорамал өсi нақты өс, барып тұр; тиiстi хордаларға диаметр, параллел нақты өсi жорамал өс, барып тұр.
Параллел хордаларының бұрыштық коэффициентi және тиiстi диаметрдiң бұрыштық коэффициентi байланыспен байланған
Егер aдың диаметрi хорданы тең ортақ бөлсе, параллел aдың параллел диаметрлерi, онда bның диаметрi хорданы тең ортақ бөледi, параллел bның параллел диаметрлерi. Мұндай диаметрлер өзара кездесетiн деп аталады. Бас диаметрлерiмен өзара кездесетiн және өзара перпендикуляр диаметрлер деп аталады. Қасында бiр-ақ пара бас диаметрлер гипербола барып тұр - нақты және жорамал өстер.
56. Асимптоталық бағыт
(альфа,бэтта) векторы гамма қисығының асимптоталық бағытын анықтайтын вектор деп аталады,егер оның координаталары келесі теңдікті қанағаттандырса:
A=0
+
=0
D=4
d>0 E>0 гиперболалық жағдай == гамма екі асииптоталық бағыт
d<0 E>0 эллипстік жағдай == гамма екі жасынық асимптоталық ьағыт
d=0 E=0 параболалық бағыт == гамма бір жақ.асим.бағыт
57. Екінші ретті сызықтың жанамалары.
Гамма:
F(x,y) -
P түзуі гамма қисығының жанамасы болады,егер ол гамма типтегі екі біріккен нүктеде қиып өтсе.
P: x= +lt
Y=
(
) жанап өтетін нүкте
А
+2bz+c=0
(
) F=0
A=0 Bt+c=0 C=F( ) =0
+bt=0
=0
=-
0=b=
L=-(
M=
P:
x=
–
t
Y=
®
(
)x+
®
(
)x+
-
®
=-F
+
Екінші ретті қисықтардың жанама теңдеуі
( )x+ + =0
58.Екінші ретті сызықтардың характеристикалық теңдеуі.Сызықтарды характеристикалық теңдеу арқылы зерттеу
:
S=
Th:Егер
1 тікбұрышты координаталар жүйесінен
бұрышқа бұру ж/е координаталар басын
көшіру түрлендірулері арқылы басқа
тік бұрышты координаталар жүйесіне
көшсек онда
қисығына
қатысты S,
,
сандары өзгермейді.Демек олар ортагонал
инварионттары болады.
1)
2)
3)
S=
Екінші
ретті сызықтардың характеристикалық
теңдеуі
гип
эллипс
2)
3)
0=>S=
а)
b)
екі
нақты пар түзу
екі жорамал пар түзу
№59 Эллипсоидтың канондық теңдеуін қорытып шығару.Эллипсоидтың қималары.
1.Егер бір тікбұрышты декарт координаталар жүйесінде екінші ретті бет:
(1)
теңдеумен берілсе,онда ол эллипсоид деп аталады
1 теңдеуден координаталық жазықтықтардың симметрия жазықттықтары,ал координаталар жүйесінің бас нүктесі эллипсоидтың симметрия центрі болғандығы шығады.
a>b>c болған жағдайда эллипсоидтың басқа симметрия
жазықтықтары болмайды.а,в,с сандары эллипсоидтың жарты
осьтері д.а.Егер а=b=c болса,онда 1 теңдеу центрі
координаталардың бас нүктесінде жатқан,радиусы а-ға тең сфераны береді.
Эллипсоидтың
–
параллелепипедпен шектелген
бет.Эллипсоидтың кез келген жазықтықпен
қиылысу сызығы эллипс болады.Шынында,қиылысу
сызығы-екінші ретті сызық.Ал шектелген
екінші ретті сызық тек қана эллипс
болады.
Эллипсоидтың
z=h,мұндағы
жазықтығымен қимасын қарастырайық.Онда
эллипсоидтың z=h жазықтығымен қиылысу
сызығының ОХУ координаталық жазықтығына
түсірілген проекциясының теңдеуі:
,болады.
Ендеше,(1)эллипсоид
z=h жазықтығымен h=0 болғанда ең үлкен мән
қабылдайтын ж/е
артқанда бірсарынды кемитін
жарты осьтері бар эллипс б/ша қиылысалы.
Әрине,
болғанда, z=h жазықтығы (1)эллипсоидты
қимайды,ал z=с, z=-с жазықтықтарының(1)эллипсоидпен
қимасы сәйкес бір ғана (0,0,с),(0,0,-с)
нүктелерінен тұрады.Эллипсоидтың у=h
немесе x=h жазықтықтарымен қималарында
осыған ұқсас көріністер байқалады.
IIЕгер бір тікбұрышты Декарт координаталар жүйесінде екінші ретті бет
(2)
теңдеумен берілсе,онда екінші ретті
жорамал
эллипсоид д.а.
Кеңістіктегі бірде-бір нүктенің
координаталары (2) теңдеуді
қанағаттандырмайтындығы айқын.
III Егер бір тікбұрышты Декарт координаталар жүйесінде екінші ретті бет
,
(3) теңдеумен
берілсе,онда ол жорамал КОНУС
д.а.
(3)теңдеуді жалғыз О(0,0,0) нүктесінің
координаталары қанағаттандырады.Кейде
(3)
теңдеумен берілген бетті ерекше
эллипсоид
деп те атайды
60.Бір қуысты гиперболоидтың канондық теңдеуін қорытып шығару.Бір қуысты гиперболоидтың қималары
ОХУ жазықтықтарда гиперболоид қарастырамыз .
VI Егер бір тікбұрышты Декарт координаталар жүйесінде екінші ретті бет
(4)
теңдеумен берілсе,онда ол бір қуысты гиперболоид д.а
Бір
қуысты гиперболоиды шығару үшін
,
ХОZ жаз сығылу фор-сын пайдаланамыз.
канондық
формуласы
Салдар1. Бір қуысты гипер болоидың кез келген түзу сызықты жасаушысы оның мойын эллипсін қиып өтеді
Мойын эллипстің ()нүктесі арқылы өтетін түзу сызықтыжасаушыларының параметрлік теңдеуларі мынадай болады:
Егер(4)Гиперболоиды екі түзу сызықты жасаушысына К коэффициенті бірдей болса,онда олар аттас деп аталады
Екі қуысты гиперболоидтың канондік теңдеуін қорытып шығару. Екі қуысты гиперболоидтың қималары.
Екі Қуысты гиперболоид. Гиперболаның нақты осінен айналғаннан шығатын бетті екі қуысты гиперболоид деп атайды.
Егер
XOZ жазықтығында жатқан
;
гиперболаны OX осінен айналдырсақ онда
екі қуысты айналмалы гиперболоидтың
теңдеуі былай жазылады:
Осы шыққан екі қуысты гиперболоидты деформацияласақ, онда осы түрге келеді:
(екі
қуысты гиперболоидтың теңдеуі)
Екі қуысты айналмалы гиперболоидтың екі қуысты гиперболоидтан айырмашылығы оның YOZ жазықтығына параллель жазықтықпен қимасы шеңбер болады.
z=h
h≤a
жорамал
эллипс
h=0
h>0
нақты
эллипс
z=h
нақты
гипербола
Гиперболалық
параболоидтың канондік теңдеуі.
Гиперболалық параболоидтың қималары.
Гиперболалық
параболоид.
Егер эллипстік параболоидтың
теңдеуінің
сол жағындағы екі мүшенің арасындағы
таңбасын өзгертсек, яғни онда:
теңдеуіне келеміз.
Осы теңдеумен анықталатын гиперболалық параболоид деп атайды.
z=h
h>0
гипербола
h=0
h<0
түйінді
x=h
x=0
x≠0
z<a,
нақты
парабола
Конустық бет және оның қималары.
Конус. Конус деп берілген нүктеден өтетін және бағыттаушы қисықтың бойымен жылжитын жасаушы түзудің үздіксіз қозғалысынан шығатын бетті айтады.
Анықтама: егер γ (фи,гамма емес) бетінде келесі шартты қанағаттандыратын (·) S табылса:
Ұ (кез келген) (·) М € γ (фи,гамма емес) (·)m € γ (фи,гамма емес)
Онда γ (фи,гамма емес) бетін конустық бет д.ат.
g (x;y;z) функциясы біртекті діат.
Егер
t
€ R; g (tx; ty; tz) =
g (x;y;z)
Теорема: Егер ТКЖ-да қандай да бір γ (фи,гамма емес) беті F (x;y;z) = 0 теңдеуімен орындалса,
x = zк у
= 0
x=h 2) z=h
h=0
h=0
h≠0
h≠0
Цилиндрлік бет және оның қималары.
Анықтама: γ (фи,гамма емес) бетін цилиндрлік бет деп атаймыз, егер лнығ кез келген (·) S үшін сан нүктеден өтетін берілген ā векторына || түзу де γ (фи,гамма емес) бетінде жатса.
F
(x;y) = 0 z
–
сан
Цилиндрлік бет теңдеуі
Эллипстік цилиндр
Гиперболалық цилиндр
4)
z
€ R
=
2PX
Параболалық цилиндр
Эллипстік
цилиндр
Гиперболалық
цилиндр
Параболалық
цилиндр