21. Жазықтықтағы түзудің параметрлік,канондық,екі нүкте арқылы өтетін түзудің, кесінділермен берілген түзудің теңдеулерін қорытып шығару

нүктесі және a={l,m} бағыттаушы векторы арқылы өтетін түзудін параметрлік тендеуі мынадай түрде болады x= y=

Дәлелдеуі;M(x,y)-жазықтықтың кез-келген нүктесі. M(x,y) нүктесі берілген жазықтықта жатады сонда және тек сонда ғана егер және a={l,m} векторлары коллинеар болса сонда

Ал координаталық түрде x- y- бұдан x= y= .

Егер параметрлік тендеуді түрінде жазсақ ол канондық тендеу деп аталады.

және нүктелері берілген екі нүкте арқылы өтетін түзудің тендеуі төмендегідей түрде жазылады

Дәлелдеуі; ;

Кесінділермен берілген түзудін тендеуі

22.Жазықтықтағы түзудің жалпы түзудің теңдеуін қорытып шығару:Ax+By+Cz+D=0,A² +B² +C²≠0,A≠0 x=(- )+u(- )+v(- ) y=0+1*u+0*v z=0+0*u+1*v

(·)(- ,0,0) (·)(- ,0,0) (·)(- ,0_,,0)→||π

23. Жазықтықтағы екі түзудің өзара орналасуы туралы теореманы дәлелдеу.Теорема: π₁ : A ₁x+B ₁y+C ₁z+D₁=0 π₂ : A ₂x+B ₂y+C ₂z+D₂=0 1) π_{1 ≡} π_{2↔ 2} = ₂ = ₂ = ₂ =λ 2) π₁|| π_{2↔ 2} = ₂ = ₂ = ₂ ≠λ 3) π_1∩ π_{2↔ 2} ≠ ₂ ≠ ₂ ≠ λ ДӘлелдеу:жет.лік: ₂ = ₂ = ₂ = ₂ =λ , π₁: λ A ₂x+ λ B ₂y+ λ C ₂z+D₂=0→ λ(A ₂x+B ₂y+C ₂z+D₂)=0 → π_{1 ≡} π₂ Қажеттілік: π_{1 ≡} π_2, π₁ || a₁b₁ , π₂||a₂b_2, a₁=(-B₁,A₁,0),a₂=(-B₂,A₂,0),b₁=(-C₁,0,A₁),b₂=(-C_2,0,A₂), a₁,b₁ || π₂→1)A₂· (-B₁) +B₂·A₁+C₂·0=0, ₂ = ₂ , 2) A₂· (-C₁) +B₂·0+C₂·A₁=0, ₂ = ₂ → ₂ = ₂ = ₂ → π₁: λ A ₂x+ λ B ₂y+ λ C ₂z+D₂=0, π₂ : A ₂x+B ₂y+C ₂z+D₂=0 , π₁: π₂→D₁=λD₂, ₂ =λ

24. Жартыжазықтықтар. Түзудің бас векторы.π:Ax+By+Cz+D=0,(·)M(x,y,z)є π,(·)M₁(x₁,y₁,z₁),(·)M₂(x₂,y₂,z₂) єемес π –ға,(M₁M₂, (·)M)= λ>0, M₁M₂||MM₂, x= X₁+λx₂/1+λ,y= y₁+λy₂/1+λ, z=z₁+λz₂/1+λ,A·( X₁+λx₂/1+λ)+B ·( y₁+λy₂/1+λ )+C·( z₁+λz₂/1+λ)+D=0, A x₁+B y₁+C z₁+D+λ(A x₂+B y₂+Cz₂+D)=0,-λ=( A x₁+B y₁+C z₁+D)/( A x₂+B y₂+Cz₂+D)<0→ Ax+By+Cz+D>0, Ax+By+Cz+D<0

Ан.ма: N=(A,B,C) векторы π жазықтағының бас векторы деп аталады

25. Екі тузу арасындағы бұрыш

b р1-дін бағыттаушы векторы а,р2- дін бағыттаушы векторы b

⎺a(x1,y1) ⎺b(x2,y2) cos α=(⎺a,⎺b)/│a│*│b│=(x1*x2+y1*y2)/

*

a sinα=sin(α2-α1)=sinα2*cosα1-sinα1*cosα2=y2/│b│*x1/│a│-

-y1/│a│*x2/│b│=(x1*y2-x2*y1)/ *

Tgα=sinα/cosα=(x1*y2-x2*y1)/(x1*x2+y1*y2)l;

А)P1:x=x1+l1*t; y=y1+m1t ⎺a1=(l1,m1)-бағ.векторы

Р2: x=x2+l2*t; y=y2+m2*t; ⎺b2=(l2,m2)-бағ.векторы

Tgα=(l1*m2-l2*m1)/(l1*l2+m1*m2)

Б)р1:A1x+B1y+C1=0 ⎺a1=(-B1;A1)

Р2: A2x+B2y+C2=0 ⎺a2=(-B2;A2)

Tgα=(-B1*A2+B2*A1)/(A1*A2+B1*B2)

B)p1:y=k1*x+b1; a1=(1;k1)

P2: y=k2*x+b2 ; a2(1;k2) tgα=(k2-k1)/(1+k2*k1)

26.; Жазықтықтағіы тузудің нормаль теңдеуін қорытып шығару.

y P ⎺OP⊥L e↑↑⎺OP e-бірлік демек ⎺OP-ның орты│ ⎺OP│=p⟶

l ⎺OP=р*⎺е ; cosα=x/│⎺e│⟶Xe ; ⎺e(cosα;sinα); ⎺ОМ=⎺r

n ⎺OM=⎺OP+⎺PM⟶⎺PM=⎺OM-⎺OP=⎺r- р*⎺е (*)Mтиісті l⟶⎺OP⊥

e M ⎺PM⟶⎺е ⊥ ⎺PM⟶⎺е ⊥(⎺r- р*⎺е )=0;( ⎺r- р*⎺е, ⎺е )=0⟶

O x (⎺r, ⎺е)-p(⎺e,⎺e)=(⎺r, ⎺е)-p=0⟶x*cosα+y*sinα-p=0

Жалпы теңд:Ax+By+C=0, M=1/± -нормалаушы көбейткіш, ж.тенд *M⟶

(Ax+By+C)/ ± =0

Жазықтықтағы екі түзудің параллель және перпендикуляр болу шарттары.

1)р1││р2⟶A1/A2=B1/B2;l1/l2=m1/m2,k1/k2=1; k1=k2

2)p1⊥p2⟶A1*A2+B1*B2=0; l1*l2+m1*m2=0,1+k1*k2=0⟶k2=-1/k1

27.Жазықтықтағы нүктеден түзуге дейінгі арақашықтық

n0 M0 M0(x0,y0) d:Ax+By+C=0 ⟦M0M1⟧⊥d,M1€d және ⎺n0-d түзу

нормальінің орты болсын.Сонда ⎺M1M0=α⎺n0 (M0,d)=│α│=

M1 d (*) │⎺n0*⎺M1M0│. ⎺n=A⎺i+B⎺j⟶⎺n0=( A⎺i+B⎺j)/ (1)

⎺M1M0=(x0-x1)⎺i+(yo-y1)⎺j. (2) (1),(2)⟶ ⎺n0*⎺M1M0=1/

; (A(x0-x1)+B(yo-y1))=(Ax0+By0-(Ax1+By1)/ (3)

M1€d⟶Ax1+By1+C=0⟶-(Ax1+By1)=C (4)

(*),(3),(4)⟶ (M0,d)=│Ax0+By0+C│/

Жазықтықтағы түзудің координаталық осьтерге қатысты орналасуының дербес жағдайлары. Ах+Ву+С=0

1)C=0⟶ Ах+Ву=0 түрінде жазылады.бұған сәйкес түзу координаталардың бас нүктесін басып өтеді

2)B=0⟶Ax+C=0 түрінде жазылады,OY осьне парраллель түзуді анықтайдыc

3)A=0⟶ Ву+C=0 түрінде жазылады,OX осьне парраллель түзуді анықтайды

4)B=0,C=0⟶ X=0 түрінде жазылады. Да, OY осьн анықтайды

5)A=0,C=O ⟶Y=0 түрінде жазылады ДА, OX осьн анықтайды