- •1. Вектордың анықтамасы. Тең векторлардың анықтамасы.
- •2. Векторларды қосу амалының анықтамасы. Векторларды қосу амалының қасиеттерін дәлелдеу.
- •3. Векторды санға көбейту амалының анықтамасы. Векторды санға көбейту амалының қасиеттерін дәлелдеу.
- •4. Сызықты тәуелді векторлар жүйесінің анықтамасы. Коллениар және компланар векторлардың сызықтық тәуелділігін көрсету.
- •5. Сызықты тәуелді векторлар жүйесінің қасиеттерін дәлелдеу.
- •6. Сызықтық тәуелсіз векторлар жүйесінің анықтамасы. Мысалдар. Сызықтық тәуелсіз векторлар жүйесінің қасиеттері.
- •11.Кеңістіктегі акж
- •12. Кеңістіктегі акж (декарттық тікбұрышты координаттар жүйесі )(рис. 4.4) (Афиндик)
- •19.Векторлардың аралас көбейтіндісінің анықтамасы және геометриялық мағынасы.
- •20. Векторлардың аралас көбейтіндісінің қасиеттері мен есептеу формулалары:
- •21. Жазықтықтағы түзудің параметрлік,канондық,екі нүкте арқылы өтетін түзудің, кесінділермен берілген түзудің теңдеулерін қорытып шығару
- •28.Жазықтықтың параметрлік және үш нүкте арқылы өтетін теңдеуін қорытып шығару.
- •29.Жазықтықтың жалпы теңдеуін қорытып шығару.
- •30. Екі жазықтықтың өзара орналасуы туралы теореманы дәлелдеу.
- •34. Кеңістіктегі нүктеден жазықтыққа дейінгі арақашықтықтың есептеу формуласын қорытып шығару.
- •35. Кеңістіктегі екі түзудің өзара орналасуы.
- •36. Кеңістіктегі түзу мен жазықтықтың өзара орналасуы.
- •37. Кеңістіктегі түзумен жазықтықтың арасындағы бұрыштың синусын есептеу формуласын қорытып шығару.
- •38. Кеңістікте нүктеден түзуге дейінгі арақашықтықтың есептеу формуласын қорытып шығару.
- •46, Жазықтықта тікбұрышты координаталар жүйесінде бір базистен екінші базиске көшу формулаларын қорытып шығару.
- •47,Эллипс (канондық теңдеуін қорыту, фокалдық радиустарды есептеу, эксцентриситет, параметрлік теңдеу).
- •47,Эллипс
- •48,Гипербола
- •46,Жазықтықта тікбұрышты координаталар жүйесінде бір базистен екінші базиске көшу формулаларын қорытып шығару.
- •1 Сурет 1
- •1 Сурет 2
- •52. Екінші ретті сызықтардың типтерге бөлініуі
- •53. Екінші ретті сызықтардың жалпы теңдеуінің инварианттары туралы теорема.
- •Екінші ретті сызықтардың центрі туралы теоремаларды дәлелдеу. Центрі бар және центрі жоқ қисықтар.
- •2. Гиперболалық параболоидтың канондық теңдеуі. Гиперболалық параболоидтың қималары.
- •64. Целиндтлік бет және оның қималары
- •65. Эллипстік параболоидтың канондық теңдеуін қорытып шығару. Эллипстік параболоидтың қималары.
- •67. Гиперболалық параболоидтың түзу сызықты жасаушалары.
- •68. Екінші ретті беттердің жалпы теңдеуі. Екінші ретті беттердің типтерге бөлінуі.
- •69. Екінші ретті беттердің жалпы теңдеуін 17 канондық теңдеуге келтіру.
- •70. Екінші ретті беттердің жалпы теңдеуінің инварианттары
29.Жазықтықтың жалпы теңдеуін қорытып шығару.
OXYZ координаталар жүйесі Декарт тікбұрышты жүйе болса, онда (r-r0, n)=0 яғни жазықтықтың нормаль арқылы жазылған вектор түріндегі теңдеудегі скаляр көбейтіндіні есептеп
n=(A,B,C), r=(x,y,z), r0=(x0,y0,z0)
(x-x0)A+(y-y0)B+(z-z0)C=0 , Ax+By+Cz-Ax0-By0-Cz0=0, бұл теңдеуде A,B,C коэффициенттері нормаль вектордың координаталары, D=-Ax0-By0-Cz0. Осылайша біз
Ax+By+Cz+D=0 жазықтықтың жалпы теңдеуге келеміз. Ax+By+Cz+D=0 жалпы теңдеуінің айнымалылары бар сызықтық алгебралық теңдеу екендігі айқын.
Вектор мен жазықтықтың параллель болу шарты:
P: Ax+By+Cz+D=0, a=(a1,a2,a3), b=(-B/A;1;0)|| P, c=(-C/A;0;1)||P
a||P <=> a компланар b,c <=> a1 a2 a3
-B/A 1 0 =0
-C/A 0 1
a1 + 0 + 0 + a3 × C/A +a2 × B/A=0
Aa1 + Ba2 + Ca3 =0
30. Екі жазықтықтың өзара орналасуы туралы теореманы дәлелдеу.
n 1 мен n2 векторлары P1 және P2 жазықтықтарының нормальдары болсын. Онда P1|| P2 болу үшін n 1||n2, ал P1 ḻ P2 болу үшін n 1 ḻ n2 қажетті және жеткілікті болатындығы айқын. Осыдан, жалпы теңдеулерімен берілген екі жазықтықтың өзара орналасуын зеттеу оңай.
OXYZ Бір Декарт тікбұрышты координаталар жүйесінде P1 мен P2 жалпы теңдеулерімен анықталсын:
P1: A1x+B1y+C1z+D1=0, P2:A2x+B2y+C2z+D2=0
Онда n1=(A1,B1,C1), n2=(A2,B2,C2) осы жазықтықтарының нормальдары болады. Бағытталған кесінділердің коллинеарлық a||b α1/Β1 = α2/Β2= α3/ Β3
және перпендикулярлық a=(x1,y1,z1); b=(x2,y2,z2) x1x2+y1y2+z1z2=0 шартын пайдаланып, P1 мен P2 жазықтықтарының паралельдік және перпендикулярлық шартын табамыз.
P1|| P2 A1/A2=B1/B2=C1/C2
P1 ḻ P2 A1A2+B1B2+C1C2=0
Егер P1|| P2 болса , онда P1ᴖ P2 түзу болады және сол сызықтың бағыттаушы векторы деп [n1,n2] векторын алуға болады. Шынында да n1 ḻ P1. n2 ḻ P2 , ал векторлық көбейту амалының анықтамасы бойынша n1 ḻ [n1,n2], n2 ḻ [n1,n2]. Ендеше [n1,n2]ϵ P1 және[n1,n2]ϵP2 , демек [n1,n2]ϵ P1ᴖ P2 . P1ᴖ P2 түзуінің бағыттаушы векторының координаталары қажет болғанда [n1,n2] координаталарын есептеу үшін
I j k
[a,b]= α1 α2 α3 =
β1 β2 β3
α2 α3 α1 α3 α1 α2
β2 β3 , β1 β3 , β1 β2
формуласын пайдалану керек.
Екі жазықтықтың беттесу шарты: P1= P2 <=> A1/A2=B1/B2=C1/C2=D1/D2
P1= P2 болсын. Онда P1|| P2 , демек A1/A2=B1/B2=C1/C2 шарты орындалады. Осыдан к пропорционалдық коэффициенті табылып, A1=kA2, B1=kB2, C1=kC2 болады. M1=(x1,y1,z1) ϵ P1ᴖ P2 түзуі болғандықтан
A1x 1+ B1y1 +C1 z1+D1=0 және A2x 2+ B2y2 +C2 z2+D2=0
Енді бірінші теңдіктен екіншісін к-ға көбейтіп азайтсақ, онда D1 - k D2=0
теңдігіне келеміз. Демек D1 мен D2 –нің пропорционадық коэффициенті де k-ға тең.
Керісінше A1=kA2, B1=kB2, C1=kC2=D1/D2 болсын. Онда A1x 1+ B1y1 +C1 z1+D1=0 және
A2x 2+ B2y2 +C2 z2+D2=0 сызықтық теңдеулер эквивалент болады. Ал эквивалент теңдеулер «кез келген екі эквивалент жүйе мәндес болады» тиоремасы бойынша мәндес болады, яғни бұл теңдеулердің шешімдері бірдей. Яғни P1= P2.