6. Сызықтық тәуелсіз векторлар жүйесінің анықтамасы. Мысалдар. Сызықтық тәуелсіз векторлар жүйесінің қасиеттері.

Анықтама: Егер келесі теңдік орындалу үшін α₁ а₁+α₂ а₂+,,,+α_n а_n=θ α₁, α₂,,,,,, α_n=0 шарты қажет болса, онда {а₁ а₂,,,, а_n} сызық тәуелсіз деп аталады.

Қасиеті

1. Егер сызықты тәуелсіз векторлар жүйесіне бірнеші вектор біріктірсек, онда жаңа жүйеде сызықты тәуелсіз болады

Дәлелдеу: (*) {а₁ а₂,,,, а_n+m}- сызықты тәуелcіз жүйе.

(**){а₁ а₂ ,, а_n}- сызықты тәуелcіз. (*)-сызықты тәуелсіз болғандықтан α₁ а₁+α₂ а₂+,,,+α_n а_n+ α_n+1 а_n+1+,,,+ α_n+m а_n+m =θ орындалу үшін келесі шарт керек α₁= α₂=…= α_n= α_n+1=…= α_n+m=θ, {а₁ а₂ ,, а_n}- сызықты тәуелcіз.

7. Параллель н/е бір түзудің бойында жатқан векторларды коллиниар векторлар д.а.

a̅, b̅ векторлары коллиниар болады сонда ж/е сонда ғана егер олардың сәйкес координаттары пропорционал болса.

а̅ колл b̅ <=>а₁/ b₁= а₂/ b₂= а₃/ b₃

Екі вектор коллиниар болады сонда және тек сонда ғана егер, табылады α саны, бірінші вектор екінші вектор арқылы сызықтық өрнектелетіндей.

a̅, b̅=0̅, a̅ колл. b̅ <=> табылады: α: a̅= αb̅

Дәлелдеу: қажеттілік: a̅ колл. b̅ болсын, олар парралель не бір түзудің бойында жатады.

a̅ және b̅ векторларын бір нүктеге көшірейік(суретін саламыз)

Нөльдік векторды санға көбейту амалы бойынша

Табылады: α: a̅=αb̅

α₁≠ α_2, a̅= α₁b̅

_-

a̅=α₂b̅

0̅ = (α_{1 –} α₂) b̅ => α₁=α₂

жеткіліктілік: табылады α: a̅=αb̅

Векторды санға көбейту амалының анықтамасы бойынша a̅ коллиниар b̅

8. Параллель н/е бір жазықтықтың бойында жатқан векторларды комплонар векторлар д.а.

Үш вектор комплонар болады сонда және тек сонда ғана, егер олардың ішінде біреуі қалған екеуі арқылы сызықтық өрнектелсе

Қажеттілік: a̅, b̅, с̅ комплонар болсын. a̅, b̅, с̅ векторларын бір нүктеге көшіреміз.(суретін саламыз)

a̅, b̅ векторларын сәйкес α, β нақты сандарға көбейтеміз: a̅α= b̅β векторда құрылған парралелограмның с̅ векторы диагоналі болып табылу керек. с̅ нүктесінің ұшы арқылы a̅ векторына параллель түзу жүргізейік және b̅ векторына параллель түзу жүргізейік. a̅, b̅ векторын сол түзулерге дейін созайық.

Параллелограм ережесі бойынша с̅=А̅С=А̅В+А̅Д

a̅ колл А̅В, b̅ колл А̅Д коллиниар болу белгісі бойынша.

А̅В=αa̅, А̅Д=βb̅ онда с̅= αa̅+βb̅

Жеткіліктілік: с̅= αa̅+βb̅ Демек a̅, b̅, с̅ - комплонар

αa̅, βb̅, с̅ - параллелограмда жатыр және бір жазықтықта жатыр, онда вектор комплонар

9. Х жиыны бір түзу бойындағы, бір жазықтықтағы, бір кеңістіктегі векторлар жиыны болсын.

Х-тегі реттелген е̅₁, е̅₂... е̅_k векторлар жүйесін Х жиынының базисі деп атаймыз егер ол жүйе (е̅₁, е̅₂... е̅_k(вектор белгісі бар) ) сызықтық тәуелсіз болса ж/е кез келген Х жиынының а̅ векторы үшін а̅ ϵ Х табылады (альфа)α₁, α₂... α_k ϵ R: (*)[ a̅= α₁ е̅₁+ α₂ е̅₂+…+ α_k е̅_k ]

(*)дағы α₁, α₂... α_k а̅ коэффиценттері, е̅₁, е̅₂... е̅_k базисіндегі координаттары д.а ж/ә келесі түрде белгіленеді а̅=( α₁, α₂... α_k)

(*)дағы а̅ вектордың е̅₁, е̅₂... е̅_k базисіндегі жіктеуі д.а.

Т1: L түзуінде кез келген нөлдік емес вектор базис құрайды, k=1

Дәлелдеу: Коллиниар белгісі бойнша ж/е сызықтық тәуелділіктің анықтамасы б-ша

Т2: π жазықтығында кез келген коллиниар емес екі вектор базис құрайды, k=2

Дәлелдеу: векторлардың комплонар болу белгісінен шығады

Т3: К кеңістігінде кез келген үш комплонар емес векторлар базис құрайды, k=3

Дәлелдеу: Сызықық тәуелділіктің 3-геометриялық қасиеті б-ша шығады.

a̅, b̅, c̅ комп емес => сыз. тәуелсіз, ол болуының 1-шарты

Т4: Кез келген вектодың берілген базисте координаталары бір мәнді анықталады.

Дәлелдеу: Кеңістік үшін:

Кеңістікте, е̅₁, е̅₂, е̅₃ векторлар жүйесі базис кез келген a̅ векторын қарастырамыз

a̅= α₁е̅₁+ α₂е̅₂+…+ α_kе̅_k 0̅ = (α₁ – β₁) е̅_{1 +} (α₂ – β₂) е̅_{2 +} (α₃ – β₃) е̅₃

- { => 0̅=(0; 0; 0)

b̅= β₁е̅₁+ β₂е̅₂+…+ β_kе̅_k α₁ – β₁=0

α₁ – β₁= α₂ – β₂= α₃ – β₃=0 => α₁= β₁ α₂= β₂ α₃= β₃

Т5: Екі вектордың қосындысының координаталары сол вектордың координаталарының қосындысына тең болады. Вектордың санға көбейтіндісінің координаталары сол санның вектордың сәйкес координаталарының көбейтіндісіне сәйкес болады.

a̅=( α₁, α₂, α₃), b̅=( β₁, β ₂, β ₃), λ=R [ a̅+ b̅=(α₁₊ β_1; α₂₊ β_2; α₃₊ β₃) λa̅=(λα_1; λα_2; λα₃) ]

Дәлелдеу: е̅₁, е̅_2, е̅₃ a̅= α₁ е̅₁+ α₂ е̅₂+ α₃е̅₃

+{

b̅= β₁е̅₁+ β₂е̅₂+ β₃е̅₃

a̅+ b̅=(α₁ + β₁) е̅_{1 +} (α₂ + β₂) е̅_{2 +} (α₃ + β₃) е̅₃

Т4 бойынша α₁ + β_1, α₂ + β_2, α₃+ β₃ a̅+ b̅ векторының координаталары болады

λa̅= λα₁е̅₁ + λα₂е̅₂ + λα₃е̅₃, Т4 бойынша λa̅=(λα_1; λα_2; λα₃)

10.тузудегі,жазыктыктагы,кеңістіктегі базис

Аныктама: х жиыны 1тузу боиындагы 1кеңістігі 1жазыктыгы векторлар жиыны болсын.е_1, е_2….. e_k/ векторлар жуйесін х жинының Базис д.a. т/a: L тузуінде кез келген нолдік емес вектор базис құрайды. д/у:қажетілік. векторын 1нуктеге кошірейік векторды санға көбейту фор/ы б/ша нолдік вектор кез келген векторға коллинеар. . д/у: жеткіліктілік: т/a: жазықтығында кез келген колленеар емес 2 вектор базис курайды. т/a: к кеңістігіндегі кез келген 3 компланар емес векторлар базис қурайды. д/у: сызықтық тәуелділіктің 3 қасиеті б/ша шығады.кеңістіктегі кез келген 4вектор сыз-қ тәуелді жуйе құрайды. компланар емес сыз/қ тәуелсіз емес. т/a: кез келген вектордың берілген базисте координаталары аныкталады. д/у: кеңістік ушін ,базис кез келген аламыз. . .→ . . . .