Сглаживание временных рядов с помощью скользящей средней

Важной задачей, возникающей при анализе рядок динамики, является определение основной тенденции в развитии исследуемо­го явления. В некоторых случаях общая тенденция ясно прослежи­вается в динамике показателя, в других ситуациях она может не про­сматриваться из-за ощутимых случайных колебаний. Например, отдельные моменты времени сильные колебания в курсах акции мо­гут заслонить наличие тенденции к росту или снижению этого по­казателя.

На практике для обнаружения общей тенденции часто используют простой прием укрупнения интервалов.

Например, ряд недельных данных можно преобразовать в ряд месячной динамики, ряд квартальных данных заменить годовыми уровнями. Уровни ново­го ряда могут быть получены суммированием уровней исходного ряда либо могут представлять средние значения. Распространенным приемом при выявлении тенденции развития является сглаживание временного ряда. Суть различных приемов сглаживания сводится к замене фактических уровней временного ряда расчетными уровня­ми, которые в меньшей степени подвержены колебаниям. Это спо­собствует более четкому проявлению тенденции развития.

Скользящие средние позволяют сгладить как случайные, так и периодические колебания, выявить имеющуюся тенденцию в раз­витии процесса. Они являются важным инструментом при фильт­рации компонент временного ряда.

Алгоритм сглаживания по простой скользящей средней может быть представлен в виде следующей последовательности шагов.

1.

При этом удобно брать длину интервала сглаживания g в виде нечетного числа: g = 2р + 1, ибо в этом случае полученные значения скользящей средней приходятся на средний член интервала. Наблю­дения, которые берутся для расчета среднего значения, называются активным участком сглаживания.

Простая скользящая средняя учитывает все уровни ряда, входя­щие в активный участок сглаживания. Это вызвано тем, что при простой скользящей средней выравнивание на каждом активном участке производится по пря­мой (по полиному первого порядка). При сглаживании же по взве­шенной скользящей средней используются полиномы чаще всего 2-го или 3-го порядков. Поэтому метод простой скользящей сред­ней может рассматриваться как частный случай метода взвешен­ной скользящей средней.

Весовые коэффициенты определяются методом наименьших квадратов. При этом нет необходимости каждый раз заново вычис­лять весовые коэффициенты при уровнях ряда, входящих в актив­ный участок сглаживания, поскольку они будут одинаковыми для каждого активного участка.

В таблице 20 представлены весовые коэффициенты в зависимос­ти от длины интервала сглаживания (при сглаживании по полино­му 2-го или 3-го порядка).

Так как веса симметричны относительно центрального уровня, то в таблице использована символическая запись: приведены весы для половины уровней активного участка; выделен (полужирным шрифтом) вес, относящийся к уровню, стоящему в центре участка сглаживания. Для оставшихся уровней веса не приводятся, так как они могут быть симметрично отражены.

Отметим важные свойства весовых коэффициентов: 1) они сим­метричны относительно центрального уровня; 2) сумма весов с уче­том общего множителя, вынесенного за скобки, равна единице; 3) на­личие как положительных, так и отрицательных весов, позволяет сгла­женной кривой сохранять различные изгибы кривой тренда.

Таблица 20 – Весовые коэффициенты для взвешенной скользящей средней

Интервал сглаживания	Весовые коэффициенты
5
7
9
11
13

ЗАДАЧА 22: По данным таблицы 21 о пассажирообороте за 16 лет (цифры условные) рассчитайте: а) трёх, семилетние скользящие средние и графически сравните результаты; б) пятилетнюю взвешенную скользящую среднюю.

Таблица 21 – Расчёт скользящих средних

t	yt	Скользящие средние		Взвешенная скользящая средняя g = 5
		g = 3	g = 7
1	10,5
2	15,8
3	8,6
4	15,9
5	15,6
6	17,4
7	16,2
8	21,5
9	18,6
10	8,6
11	16,2
12	17,4
13	18,6
14	16,9
15	18,7
16	20,7

а) При трёхлетней скользящей средней:

При семилетней скользящей средней:

Анализ графиков:

б) Вычисление пятилетней взвешенной скользящей средней:

Внеаудиторная самостоятельная работа: решить задачу 23.

ЗАДАЧА 23: По данным таблицы 22 о грузообороте железной дороги за 13 лет (цифры условные) рассчитайте: а) пятилетнюю скользящую среднюю; б) семилетнюю взвешенную скользящую среднюю.

Таблица 22 – Расчёт скользящих средних

t	yt, тыс.т км	Скользящая средняя g = 5	Взвешенная скользящая средняя g = 7
1	9,6
2	11,3
3	8,6
4	9,1
5	8,0
6	9,8
7	11,5
8	12,6
9	9,7
10	13,2
11	14,8
12	15,6
13	16,1

Анализ: