3. Линии и поверхности в пространстве

3.1. Уравнение плоскости

Рассмотрим плоскость П. Пусть точка М_о(х_о;у_о;z_o) принадлежит плоскости П, а ненулевой вектор =(А;В;С) перпендикулярен плоскости П (этот вектор называют нормальным вектором плоскости). Точка М(х;у;z) принадлежит плоскости П тогда и только тогда, когда векторы и перпендикулярны. Это значит, что ^. =0. Записав это равенство в координатах, получим уравнение плоскости, проходящей через данную точку и имеющей данный нормальный вектор:

А(х–х_о)+В(у–у_о)+С(z–z_о)=0.

Если в этом уравнении раскрыть скобки и обозначить –Ах_о–Ву_о–Сz_о через D, то получим общее уравнение плоскости:

Ах+Ву+Сz+D = 0, где коэффициенты А, В и С

одновременно не равны нулю.

Частные случаи общего уравнения:

1) если А=0, то плоскость параллельна оси абсцисс;

2) если В=0, то плоскость параллельна оси ординат;

3) если С=0, то плоскость параллельна оси аппликат;

4) если А=В=0, то плоскость параллельна плоскости хОу;

5) если А=С=0, то плоскость параллельна плоскости хОz;

6) если B=C=0, то плоскость параллельна плоскости yОz;

7)если D=0, то плоскость проходит через начало координат.

Поскольку плоскость определяется тремя точками, не лежащими на одной прямой, то составим уравнение плоскости, проходящей через точки М₁(х₁;у₁;z₁), М₂(х₂;у₂;z₂) и М₃(х₃;у₃;z₃). Точка М(х;у;z) принадлежит этой плоскости тогда и только тогда, когда векторы , и компланарны. Это значит, что ^{. .} =0. Записав это равенство в координатах, получим уравнение плоскости, проходящей через три данные точки:

= 0.

3.2. Угол между плоскостями.

Расстояние от точки до плоскости

Если плоскости параллельны или совпадают, то угол между плоскостями считается равным нулю. Если плоскости пересекаются, то угол между ними считается равным меньшему из четырех образованных ими двугранных углов. Таким образом, угол между плоскостями может быть либо прямым, либо острым, то есть косинус этого угла равен модулю косинуса угла между нормальными векторами. Поскольку нормальные векторы плоскостей A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 и A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0 имеют координаты (A₁;B₁;C₁) и (A₂;B₂;C₂) соответственно, то косинус угла между плоскостями вычисляется по формуле:

cos = .

Из этой формулы получаем условие перпендикулярности двух плоскостей: плоскости A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 и A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0 перпендикулярны тогда и только тогда, когда

А₁А₂+В₁В₂+С₁С₂=0.

Если нормальные векторы плоскостей А₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 и A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0 коллинеарны (то есть если ), то плоскости либо совпадают, либо параллельны. В первом случае , во

втором случае .

Отсюда получаем условие параллельности двух плоскостей: плоскости A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 и A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0 параллельны тогда и только тогда, когда

.

Если точка М_о(х_о;у_о;z_o) принадлежит плоскости П, то расстояние (М_о;П) от точки до плоскости считается равным нулю. Если точка М_о(х_о;у_о;z_o) не принадлежит плоскости П, то расстояние (М_о;П) от точки до плоскости равно длине перпендикуляра М_оМ, опущенного из точки М_о на плоскость П. Если плоскость П задана уравнением Ах+Ву+Сz+D = 0, то ее нормальный вектор =(А;В;С) является направляющим вектором перпендикулярной прямой М_оМ. Поэтому для точки М(х;у;z) имеем = t . Перепишем это равенство по координатам: . Выразим отсюда х и у, затем подставим полученные выражения в уравнение плоскости П и найдем, что t = .

Отсюда М_оМ = =

= = . Окончательно получаем формулу расстояния от точки до плоскости:

(М_о;П) = .

Замечание. Эта формула справедлива и для точки, принадлежащей плоскости: в этом случае дробь равна нулю, как и расстояние от точки до плоскости.