3.3. Уравнения прямой в пространстве

1^о. Поскольку прямая в пространстве – это линия пересечения двух плоскостей, то общее уравнение прямой в пространстве имеет вид:

,

где и .

2^о. Уравнение прямой, проходящей через две различные точки А и В:

.

Это уравнение получается из коллинеарности векторов и , где точка М(х;у;z) принадлежит прямой.

3^о. Каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М_о(х_о;у_о;z_o) и имеющей направляющий вектор =(а_х;а_у;a_z):

.

Это уравнение вытекает из коллинеарности векторов и , где точка М(х;у;z) принадлежит прямой.

4^о. Параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку М_о(х_о;у_о;z_o) и имеющей направляющий вектор =(а_х;а_у;a_z):

.

Это уравнение получается из канонического уравнения, если обозначить через t каждую из равных дробей.

Пример. Составим каноническое и параметрическое уравнения прямой, имеющей общее уравнение . Для этого нужно найти точку М_о(х_о;у_о;z_o), лежащую на прямой, и ее направляющий вектор =(а_х;а_у;a_z). Подберем значения х_о, у_о и z_о так, чтобы они удовлетворяли системе уравнений. Пусть, например, z_о=0. Подставим это значение в систему и решим ее относительно х_о и у_о: , ,

, , . Итак, точка с координатами (–5;3;0) принадлежит прямой.

Далее, поскольку данные плоскости имеют нормальные векторы =(3;2;–7) и =(4;–1;12) соответственно, то направляющей вектор прямой перпендикулярен обоим векторам и . Поэтому в качестве направляющего вектора можно взять векторное произведение и . Имеем:

 = = – +

=17 –64 –11 . Значит, направляющий вектор прямой имеет координаты (17;–64;–11).

Каноническое уравнение: ;

параметрическое уравнение: . 

3.4. Угол между прямыми в пространстве.

Угол между прямой и плоскостью

Так же, как и на плоскости, косинус угла между прямыми в пространстве равен модулю косинуса угла между их направляющими векторами. Поэтому косинус угла между прямыми, имеющими направляющие векторы =(а_х;а_у;a_z) и =(b_х;b_у;b_z), вычисляется по формуле:

cos = .

Из этой формулы получаем условие перпендикулярности двух прямых: прямые, имеющие направляющие векторы =(а_х;а_у;a_z) и =(b_х;b_у;b_z), перпендикулярны тогда и только тогда, когда

a_хb_x + a_yb_y + a_zb_z = 0.

Рассмотрим теперь угол между прямой и плоскостью. Если прямая лежит в плоскости или параллельна ей, то угол между прямой и плоскостью считается равным нулю. Если прямая пересекает плоскость, то угол  между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. А этот угол, в свою очередь, равен либо 90^о–, либо –90^о, где  – угол между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости. Поэтому

sin=cos. Если нормальный вектор плоскости =(А;В;С) и направляющий вектор прямой =(а_х;а_у;a_z), то получаем формулу синуса угла между прямой и плоскостью:

sin = .

3.5. Взаимное расположение двух прямых

в пространстве

Две прямые в пространстве либо совпадают, либо параллельны, либо пересекаются, либо скрещиваются (не лежат в одной плоскости). Пусть первая прямая проходит через точку М₁(х₁;у₁;z₁) с направляющим вектором , а вторая – через точку М₂(х₂;у₂;z₂) с направляющим вектором .

1) Если векторы , и коллинеарны, то прямые совпадают.

2) Если векторы и коллинеарны, но не коллинеарны вектору , то прямые параллельны.

3) Если векторы и не коллинеарны, но компланарны вектору , то прямые пересекаются.

4) Если векторы , и не компланарны, то прямые скрещиваются.

Примеры. Определим взаимное расположение прямых, проходящих через данные точки с данными направляющими векторами.

1) Пусть = (1;2;3), М₁(0;1;–2), = (4;5;6), М₂(7;9;7). Направляющие векторы не коллинеарны: – значит, прямые либо пересекаются, либо скрещиваются. Для уточнения определим, компланарны ли векторы , и : ^{. .} = = = 0. Значит, векторы компланарны. Ответ: прямые пересекаются.

2) Пусть = (2;–1;3), М₁(1;2;3), = (–4;2;–6), М₂(5;1;9). Направляющие векторы коллинеарны: – значит, прямые либо совпадают, либо параллельны. Для уточнения определим, коллинеарны ли векторы и : =(4;­–1;6), . Значит, эти векторы не коллинеарны. Ответ: прямые параллельны.

3) Пусть = (2;–1;3), М₁(1;2;3), = (–4;2;–6), М₂(5;0;9). Направляющие векторы коллинеарны: – значит, прямые либо совпадают, либо параллельны. Для уточнения определим, коллинеарны ли векторы и : =(4;­–2;6), . Значит, эти векторы коллинеарны. Ответ: прямые совпадают.

4) Пусть = (1;2;3), М₁(0;1;–2), = (4;5;6), М₂(0;1;1). Направляющие векторы не коллинеарны: – значит, прямые либо пересекаются, либо скрещиваются. Для уточнения определим, компланарны ли векторы , и : ^{. .} = = = –9  0. Значит, векторы не компланарны. Ответ: прямые скрещиваются. 