4О. (или ) – гипербола.

5^о. – пара пересекающихся прямых.

6^о. у² = 2рх, p>0 (или у² = –2рх, или х² = 2ру, или х² = –2ру) – парабола.

7^о. – пара параллельных прямых.

8^о. – пара «мнимых» прямых,

не имеющих общих точек

(уравнению не удовлетворяет ни одна точка).

9^о. – пара совпавших прямых.

Пример. Приведем к каноническому виду данные уравнения кривых второго порядка и определим вид кривых.

1) х²+у²–4х+6у+4=0. Выделим полные квадраты:

(х²–4х +4)–4+(у²+6у+9)–9+4=0; (х–2)²+(у+3)²–9=0;

(х–2)²+(у+3)² = 9. Выполним сдвиг системы координат: . Тогда уравнение примет вид: . Таким образом, данная кривая есть окружность с центром в точке (2; –3) и радиусом 3.

2) 2х²+5у²+8х–10у–17=0. Выделим полные квадраты:

2(х²+4х +4)–8+5(у²–2у+1)–5–17=0; 2(х+2)²+5(у–1)²–30=0;

2(х+2)²+5(у–1)² = 30. Выполним сдвиг системы координат: . Тогда уравнение примет вид: . Таким образом, данная кривая есть эллипс с центром в точке (–2;1), большой полуосью и малой полуосью .

3) х²–6у²–12х+36у–48=0. Выделим полные квадраты:

(х²–12х +36)–36–6(у²–6у+9)+54–48=0; (х–6)²–6(у–3)²–30=0;

(х–6)²–6(у–3)² = 30. Выполним сдвиг системы координат: . Тогда уравнение примет вид: . Таким образом, данная кривая есть гипербола с центром в точке (6; 3), вершинами на оси абсцисс, действительной полуосью и мнимой полуосью .

4) х²–8х+2у+18=0. Выделим полный квадрат:

(х²–8х +16)–16+2у+18=0; (х–4)²+2(у+1) =0; (х–4)² = –2(у+1). Выполним сдвиг системы координат: . Тогда уравнение примет вид: . Таким образом, данная кривая есть парабола с вершиной в точке (4; –1), р = 1, ветви параболы направлены вниз.

2.8. Полярные координаты на плоскости

До сих пор мы использовали на плоскости декартову систему координат. Положение точки при этом определяется парой чисел – абсциссой и ординатой. Эти числа – координаты, которые имеет в базисе ( , ) вектор с началом в начале координат и концом в данной точке. Но положение точки на плоскости можно определить и какой-нибудь другой парой чисел.

Чтобы задать на плоскости полярную систему координат, на плоскости выбирают точку О (полюс), луч с началом в точке О (полярная ось) и единичный отрезок ОЕ на этом луче. Расстояние от некоторой точки М до полюса называют полярным радиусом точки, а величину угла, который образует вектор с полярной осью – полярным углом; угол считается положительным, если отсчитывается против часовой стрелки, и отрицательным, если отсчитывается по часовой стрелке. Тогда положение точки М, не являющейся полюсом, можно задать ее полярным радиусом  и полярным углом . Заметим, что полярный угол определен только с точностью до 2n, поэтому обычно выбирают его значение в промежутке (–;].

В прямоугольной декартовой системе координат линии, на которых абсцисса или ордината постоянна, – это прямые, параллельные осям. Из этих прямых состоит так называемая координатная сетка. В полярной системе координат линии, на которых полярный радиус постоянен, – это окружности с центром в полюсе, а линии, на которых полярный угол постоянен, – это лучи с началом в полюсе, исключая сам полюс. Из этих окружностей и лучей состоит полярная координатная сетка.

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат. Выберем полярную систему координат так, что полюс совпадает с началом декартовой системы координат, полярная ось – с положительным направлением оси абсцисс, а единичный отрезок – с единичным отрезком на оси абсцисс. При таком расположении систем координат полярные координаты связаны с декартовыми формулами: .

Пример. 1) Рассмотрим уравнение  = 2sin. Перейдем в этом уравнении к декартовым координатам. Получим:

. Отсюда х²+у²=2у, х²+(у–1) ² =1. Оказывается, что уравнение  = 2sin – это уравнение окружности с центром в точке (0;1) и радиусом 1.

2) Рассмотрим уравнение  = . Перейдем в этом уравнении к декартовым координатам. Получим:

. Отсюда у = 2. Оказывается, что уравнение  = – это уравнение прямой, параллельной оси абсцисс и проходящей через точку (0;2). 

Конечно, совсем не всегда уравнение, заданное в полярных координатах, при переходе к декартовым координатам упрощается. В некоторых случаях кривые приходится строить по точкам, используя полярную сетку.