1.6. Координаты вектора в прямоугольной декартовой

системе координат

Пусть – произвольный вектор в пространстве. Его координаты в базисе ( ; ; ) будем называть его координатами в прямоугольной декартовой системе координат, или просто координатами вектора в пространстве. Если = a_x +a_y +a_z , будем писать =(a_x;a_y;a_z). Заметим, что при этом

a_x=пр_Ох = ^.cos,

a_y=пр_Оy = ^.cos,

a_z=пр_Оz = ^.cos,

где  – угол между вектором и положительным направлением оси Ох,  – угол между вектором и положительным направлением оси Оy,  – угол между вектором и положительным направлением оси Оz. Так как эти углы полностью определяют направление вектора, то их косинусы называются направляющими косинусами.

Перечислим некоторые свойства координат вектора в пространстве.

1^о. При сложении векторов их координаты складываются; при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число. Это утверждение вытекает из свойств линейности, которыми обладает проекция вектора на ось.

2^о. Если = , A(х₁;у₁;z₁), B(х₂;у₂;z₂), то a_x= х₂–х₁, a_y= у₂–у₁, a_z= z₂–z₁. Действительно, = + = – + . По определению координат точки получаем, что =(х₁;у₁;z₁) и =(х₂;у₂;z₂). А тогда из предыдущего свойства вытекает, что = (х₂–х₁; у₂–у₁; z₂–z₁), что и требовалось доказать.

3^о. Если =(a_x;a_y;a_z), то ²=a_x²+a_y²+a_z². Это утверждение вытекает из известной формулы длины отрезка.

4^о. Из предыдущего свойства получаем, что сумма квадратов направляющих косинусов вектора равна единице:

cos²+ cos²+ cos² = 1.

5^о. Ненулевые векторы =(a_x;a_y;a_z) и =(b_x;b_y;b_z) коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны: a_x=kb_x, a_y=kb_y, a_z=kb_z. Это следует из свойства 1^о и из того, что ненулевые векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда =k .

Примеры. 1) Пусть точка М(x,y,z) лежит на отрезке АВ, причем АМ:МВ=>0, A(x_A,y_A,z_A), B(x_B,y_B,z_B). Найдем координаты точки М.

Имеем: = (x–x_A;y–y_A;z–z_A), =(x_В–x;y_В–y;z_В–z) (по свойству 2^о). Векторы и сонаправлены, причем = ; значит, =  . Тогда по свойству 1^о получаем: . Решая эту систему, находим: . По этим формулам вычисляются координаты точки, которая делит отрезок АВ в данном отношении .

2) Применим полученные формулы к вычислению координат середины М отрезка АВ. В этом случае =1, поэтому – координаты середины отрезка АВ.

3) Найдем теперь координаты точки пересечения медиан треугольника АВС (эта точка является центром масс треугольника). Пусть АМ – одна из медиан, тогда М – середина отрезка ВС, поэтому М . Так как точка О пересечения медиан делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины, то АО:ОМ = 2:1, то есть =2. Поэтому О ; подставляя сюда найденные координаты точки М, получаем окончательно: О – координаты центра масс треугольника АВС.

1.7. Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением векторов и называется число , которое вычисляется по следующему правилу:

если = или = , то =0;

если  и  , то = cos, где  – угол между векторами и .

Скалярное произведение вектора на себя называют скалярным квадратом вектора и обозначают ².

Замечание. Из определения видно, что

= = .

Следующие свойства скалярного произведения вытекают из определения и сделанного замечания.

1. ²0, причем ²=0 тогда и только тогда, когда = .

2. = .

3. (k ) = k( ).

4. ( + ) = + .

Из этих свойств можно получить следующие следствия.

1. Если  и  , то cos = .

2. Если  и  , то =0 тогда и только тогда, когда  .